【正文】 ? (4)設(shè) A≥0，則 A0，當(dāng)且僅當(dāng) |A|≠0。 ? 27 1pii??? ?A? (6)若 A為 p階對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣 T及對(duì)角矩陣Λ=diag(λ1,λ2,?,λp)，使得 A=TΛT′ 上 式兩邊右乘 T，得 AT=TΛ 記 T=(t1,t2,?,tp)，于是 (At1,At2,?,Atp)=(λ1t1,λ2t2,?,λptp) Ati=λiti， i=1,2,?,p 這 表明 λ1,λ2,?,λp是 A的 p個(gè)特征值 ， 而 t1,t2,?,tp為相應(yīng) 的一 組正交單位特征向量 。 特征值、特征向量和矩陣的跡 ?一、特征值和特征向量 ?二、矩陣的跡 23 一、特征值和特征向量 ? 設(shè) A是 p階方陣，若對(duì)于一個(gè)數(shù) λ，存在 x≠0，使得 Ax=λx，則稱 λ為 A的一個(gè) 特征值 或 特征根 ，而稱 x為 A的屬于 λ的一個(gè) 特征向量 。 ? (2)(A′)?1=(A?1)′。 ? (3)若將 A的某一行 (或列 )乘以常數(shù) c，則所得矩陣的行列式為c|A|。 ? 若方陣 A滿足 AA′=I，則稱 A為 正交矩陣 。 ?若方陣 A的對(duì)角線下方的元素全為零，則稱 A為 上三角矩陣 。 矩陣的逆 ?167。 矩陣的運(yùn)算 ?若 A=(aij)： p q， B=(bij)： p q,則 A與 B的 和 定義為 A+B=(aij+bij)： p q ?若 c為一常數(shù)，則它與 A的 積 定義為 cA=(caij)： p q ?若 A=(aij)： p q， B=(bij)： q r,則 A與 B的 積 定義為 1qik k jka b p r??????????AB ：5 運(yùn)算 規(guī)律 ? (1)(A+B)′=A′+B′。 ? 證明 記 由 A′A=I， 得 ? ?? ?? ?? ?1212, , ,pp?????????? ?????????aaA a a aa? ?1212, , , pp???????? ????????aaa a a Ia12 于是 故有 即 a1,a2,?,ap為一組正交單位向量。 Aij=(?1)i+jMij稱為元素 aij的 代數(shù)余子式 。 ? (2)若 A為 p q矩陣 , 且 A≠0，則 1≤rank(A)≤min{p,q}(若 rank(A) =p,則稱 A為 行滿秩 的；若 rank(A)=q,則稱 A為 列滿秩 的 )。 ? 解 由于 因此 ， ab′有一個(gè)非零特征值 ?15，而另兩個(gè)特征值為零。 ? (7)若 A為投影矩陣，則 tr(A)=rank(A) ? ? ? ? 211t r t rpqijija?????? ??A A A A32 167。 ? (2)推廣的柯西 許瓦茲不等式 設(shè) B0，則 (x′y)2≤(x′Bx)(y′B?1y) 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) x=cB?1y（或 y=cBx），這里 c為一常數(shù)。 ? (4) 。 ? 例 設(shè) A和 B為兩個(gè) p p矩陣，則 AB和 BA有完全相同的特征值。矩陣的行秩和列秩必相等，故統(tǒng)一將其稱為 A的 秩 ，記作rank(A)。 ? (11)|AA′|≥0。 112233*********yxyx? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?y A x9 矩陣的分塊 ?設(shè) A=(aij)： p q,將它分成四塊，表示成 其中 A11： k l， A12： k (q?l)， A21： (p?k) l， A22： (p?k) (q?l)。顯然，aij=aji。 矩陣的運(yùn)算 ?167。 ?若方陣 A的對(duì)角線上方的元素全為零，則稱 A為 下三角矩陣 。 ? 對(duì)稱的冪等矩陣稱為 投影矩陣 。 ? (5)若互換 A的任意兩行 (或列 )，則行列式符號(hào)改變。 ? (5)若 A是正交矩陣，則 A?1=A′。 上 式有 p個(gè)根 （ 可能有重根 ） ，記作