【文章內(nèi)容簡介】 ????????4442,)4)(232 2對于二重根，，特征值為的特征多項(xiàng)式為（時(shí)，當(dāng) ???? ??Aa32,16318318822 2????????aaa得：即為完全平方，產(chǎn)生二重根，知，不是二重根，由題目已）若（ ???26 不可相似對角化征向量，故只有一個(gè)線性無關(guān)的特即二重根 AEARnEAR42123)4(,2)4(???????????，～????????????????????????????????????????????????????????????????????000620301620620301~2320620301~1321323301~13213013234 EA?第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對角化 27 對角化即可相似化，關(guān)鍵看是否有 n個(gè)無關(guān)特征向量， 單根能保證，即關(guān)鍵是 k重根是否有 k個(gè)無關(guān)向量。有一類 我們熟悉的矩陣叫對稱矩陣， 對稱矩陣不但能保證相似化， 而且保證 k重根有 k個(gè)無關(guān)特征向量， 四、對稱矩陣的對角化 ? ?njiaa jiij ,2,1, ???那么 A 稱為 對稱矩陣 .如對稱矩陣的元素全是實(shí)數(shù)，則稱為 實(shí)對稱矩陣 概念回顧：設(shè) A 為 n 階方陣，若滿足 ,AAT ? 即 （ 1）定理 5 實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) . （ 2）定理 6 設(shè) 是 對稱矩陣 A 的兩個(gè)特征值 ， 21,??21, pp 是對應(yīng)的 特征向量， 若 ， 21 ?? ?則 與 正交 . 1p 2p第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對角化 28 證 ,111 App ?? ,222 App ??TT App )()( 111 ???Tp11? TAp1? Ap T1?211 pp T? 21 App T? 221 pp T ?? 212 pp T?? 02121 ?? ppT)( ??因 ， 21 ?? ? 021 ?pp T有 1p 2p所以 與 正交 . ： 定理 7: 設(shè) A 為 n 階對稱矩陣，則必有正交矩陣 P ， 其中 Λ是以 A 的 n 個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣 . 1P AP使 ?T= P A P ?該結(jié)論與定理不予證明，只作為可對角化的結(jié)論應(yīng)用 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對角化 結(jié)論 : 設(shè) A 為 n 階 對稱矩陣 ， λ是 A 的特征方程的 k 重根， 則矩陣 的秩 R =n－ k, EA ?? ? ?EA ??從而對應(yīng)特征值 λ恰有 k個(gè) 線性無關(guān)的特征向量 . 29 第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對角化 ： （ 1）求出 A 的全部互不相等的特征值 12, , , s? ? ?12, , , sk k k 12( , , )sk k k n? ? ? ?它們的重?cái)?shù)分別為 : 。個(gè)線性無關(guān)的特征向量的基礎(chǔ)解系，得到重特征值，求出方程組）對每一個(gè)（kxEAkk k 0)()1(2 ??? ?化個(gè)無關(guān)的特征向量單位）將（用施密特法正交化。個(gè)基礎(chǔ)解系的無關(guān)向量時(shí)，對）當(dāng)（nkk413 ?? ?npppPPn,521 ??即：矩陣組成對角化的相似變換個(gè)線性無關(guān)的單位向量）（30 ?????????????????nTnnAPPAPPppp?????????2112121,6對角化的對角矩陣：得到，，的順序，排列）對照（第十三講：特征值應(yīng)用，相似矩陣與對角化 31 第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 本次課講第五章第 5節(jié)，下次課講第 6,7節(jié) 下次上課時(shí)交作業(yè) P45— P46，P49P50 32 ??? APPA1對角化方陣特征向量個(gè)無關(guān)是 npppPn ),( 21 ??的特征向量特征值對應(yīng)個(gè)的是 nAppp n, 21 ?特征向量個(gè)對應(yīng)值重特征向量，對應(yīng)一個(gè)特征每一個(gè)特征值kkki?特征向量個(gè)無關(guān)有的基礎(chǔ)解系kxEAki0)( ?? ?kSRknEAR ki????)()(或?量基礎(chǔ)解系的無關(guān)特征向個(gè)求對應(yīng)解 kxEA ki 0)( ?? ?Pppp n組成求出 ),( 21 ?對稱矩陣 對角化 求正交 矩陣 P 基礎(chǔ)解系即 特征向量 正交化并 單位化 i?求特征值0) ?? xEAk i?（ 重根解方程，矩陣成正交個(gè)規(guī)范正交特征向量組法求出特別地：通過對角化方),( 21 npppPn?????????????????? ?nT APPAPP????211使得對應(yīng)的特征向量是其中 iip ?第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 33 得特征值 1 2 32 , 1 .? ? ?? ? ? ?解 : 111111AE??????? ? ? ??22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1) 當(dāng) 時(shí)， 1 2? ?? 1232 1 1 01 2 1 0 ,1 1 2 0xxx?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2) ?( 2 ) 0A + E x 得 2 1 11 2 11 1 2??????????1 0 10 1 1 ,000????????得基礎(chǔ)解系為 1111??????????????r例 1 設(shè) 求一個(gè)正交矩陣 P, 使 為對角矩陣 . 0 1 11 0 1 ,1 1 0A?????????????? APP 1第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 34 當(dāng) 時(shí)， 23 1????由 ?( ) 0A E x 得 r 1 1 10 0 0 ,0 0 0?????????1 1 11 1 11 1 1?????????????A E =其基礎(chǔ)解系為 : 211,0?????????????10.1?????????????1 1 1110 1 1 .221 0 2?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?將 正交化 ： 23,?? 2 ,?? ? ?令 ? ?233222,? ???? ? ? ??單位化得 : 111 1.3 1?????????????P第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 35 將 單位化得： 23,?? 2311111 , 12602?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?PP3) 于是得 : ? ?1 2 31 1 13 2 61 1 1, , .3 2 612036????????? ? ???????P P P P可以驗(yàn)知 : 1 21.1T????????????P A P P A P第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 36 第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 Ppppppp陣將其單位化，得正交矩不難觀察它們正交，故無關(guān)，量，是不同特征值的特征向解 321321 , ??.,212,122,221,1,0,321321ApppAZ求特征向量依次為對應(yīng)的的特征值為階方陣設(shè)???????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????323132313232323231100000001323132313232323231,111TPPPPAAPPPAAPP 求由特征值代入代入推出：由矩陣否可成正交規(guī)范即正交特征向量組成，觀察是由無關(guān)且使得分析：求 ),(, 3211 pppPAPPP ????37 .212122221100000001212122221913231323132323232311000000013231323132323232311?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????＝P A PA第十四講：對稱矩陣對角化，二次型標(biāo)準(zhǔn)化 .032323231032031?????????????????＝38 一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化 ：合同矩陣及其性質(zhì) 若存在 可逆矩陣 P , 使 B=PTAP， 設(shè) A和 B是 n 階矩陣 , 定義 9: 稱矩陣 A與 B合同 . 性質(zhì)：合