【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 4 1 1 第 1章 矩陣與行列式 4． syms c。 A=[c1 2 2。2 c1 2。2 2 c1]。 a=det(A) 。 [c]=solve(a,39。c39。) 運(yùn)行結(jié)果： c = [ 5] [ 1] [ 1] 即當(dāng)或時(shí)，原線性齊次方程組有非零解。 第 1章 矩陣與行列式 實(shí)驗(yàn)五 向量 【 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?】 理解向量、向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念 掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法 理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念 會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組和秩 5．掌握矩陣秩的求法 【 實(shí)驗(yàn)要求 】 掌握簡(jiǎn)化矩陣為階梯形式 rref、計(jì)算行列式 det、計(jì)算矩陣的秩 rank等命令 【 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 】 1. 設(shè)向量： ， ， ， ，問 b能否 由 線性表示？ ????????????????21011a????????????????52432a???????????????90413a????????????????1445b321 , aaa第 1章 矩陣與行列式 2．判斷下列向量組是否線性相關(guān)： （ 1） ， ， ； （ 2） ， ， ． 3．求向量組 ， ， ， 的一個(gè)極大 線性無關(guān)組，并把其余向量用極大線性無關(guān)組中的向量線性表示 。 4．求矩陣 的秩。 第 1章 矩陣與行列式 ???????????????75011a?????????????????32112a????????????????47123a???????????1111a???????????5201a???????????6313a????????????????13121?????????????????02132?????????????????24313?????????????????11344????????????????762153424121A 5．求向量 在基 ， ， 下的坐標(biāo)． 【 實(shí)驗(yàn)過程 】 1．解法一： A=[1 3 1。0 4 4。1 2 0。2 5 9]。 b=[5。4。4。1]。 B=[A,b]。 r=[rank(A),rank(B)] 運(yùn)行結(jié)果： r = 1 2 由上可知 ，故方程組有解 。 ????????????953?????????????953????????????1011a???????????1103a2)()( ?? BrAr第 1章 矩陣與行列式 解法二： 設(shè) ，即有 A=[1 3 1 5。0 4 4 4。1 2 0 4。2 5 9 1] 運(yùn)行結(jié)果： A = 1 3 1 5 0 4 4 4 1 2 0 4 2 5 9 1 B=rref(A) 運(yùn)行結(jié)果： B = 1 0 2 2 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 由上可知， ，故方程組有解，即 b可由 線性表示，且 。 332211 axaxaxb ??????????????????????195242444533212132321xxxxxxxxxx2)()( ?? BrAr 321 , aaa212 aab ???第 1章 矩陣與行列式 2．（ 1） A1=[1。0。5。7]。 A2=[1。1。2。3]。 A3=[2。1。7。4]。 A=[A1,A2,A3]。 r=rank(A) 運(yùn)行結(jié)果： r = 2 此向量組的秩等于 2，故此向量組線性相關(guān)。 （ 2） A1=[1。1。1]。 A2=[0。2。5]。 A3=[1。3。6]。 A=[A1,A2,A3]。 a=det(A) 運(yùn)行結(jié)果： a = 0 此向量組組成的矩陣的行列式的值為 0，故此向量組線性相關(guān)。 第 1章 矩陣與行列式 3． A=[2 3 1 4。1 1 3 3。3 2 4 1。1 0 2 1]。 B=rref(A) 運(yùn)行結(jié)果： B = 1 0 2 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 由上可知， ， 是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且 ， ． 4．解法一： A=[1 2 1 4。2 4 3 5。1 2 6 7]。 r=rank(A) 運(yùn)行結(jié)果： r = 2 第 1章 矩陣與行列式 1? 2? 213 2 ??? ??214 2??? ???解法二： format rat A=[1 2 1 4。2 4 3 5。1 2 6 7]。 B=rref(A) 運(yùn)行結(jié)果： B = 1 2 0 17/5 0 0 1 3/5 0 0 0 0 由上可知，矩陣 A的秩為 2． 第 1章 矩陣與行列式 的解。 A1=[1。1。0]。 A2=[1。0。1]。 A3=[0。1。1]。 A=[A1,A2,A3]。 b=[3。5。9]。 X=inv(A)*b 輸出 X = 第 1章 矩陣與行列式 332211 axaxax ????設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn) CaylerHamilton定理 【 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?】 1．理解特征多項(xiàng)式的概念 2．掌握 CaylerHamilton定理 【 實(shí)驗(yàn)要求 】 掌握生成 Vandermonde矩陣的 vander命令、求矩陣特征多項(xiàng)式系數(shù)的 poly()命令、求矩陣范數(shù)的 norm命令及矩陣多項(xiàng)式運(yùn)算的 polyvalm命令 【 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 】 CaylerHamilton定理是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)比較重要的定理，其內(nèi)容為：若矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 則有 亦即 假設(shè)矩陣 A為 Vandermonde矩陣，試驗(yàn)證其滿足 CaylerHamilton定理。 1121)d e t ()( ?? ??????? nnnnn asasasaAsIsf ?( ) 0,fA?11 2 1 0nn nna A a A a A a E? ?? ? ? ? ?第 1章 矩陣與行列式 【 實(shí)驗(yàn)方案 】 Matlab提供了求取矩陣特征多項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù) poly()，但是 poly()函數(shù)會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，而該誤差在矩陣多項(xiàng)式求解中可能導(dǎo)致了巨大的誤差，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 在實(shí)際應(yīng)用中還有其他簡(jiǎn)單的數(shù)值方法可以精確地求出矩陣的特征多項(xiàng)式系數(shù)。例如，下面給出的 FadeevFadeeva遞推算法也可以求出矩陣的特征多項(xiàng)式。 第 1章 矩陣與行列式 ? ?1 1 11 , 1 , 2 , . . . , , 2 , . . . ,kkk k kc tr A R k nkR I R A R c I k n??? ? ? ???? ? ? ? ??可以直接由下面的 Matlab語句編寫一個(gè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)： Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A)。 if nc==nr % 給出若為方陣，則用 FadeevFadeeva算法求特征多項(xiàng)式 I=eye(nc)。 R=I。 c=[1 zeros(1,nc)]。 for k=1:nc,c(k+1)=1/k*trace(A*R)。r=A*R+c(k+1)*I。 end elseif (nr==1 \ nc==1) % 給出為向量時(shí)，構(gòu)造矩陣 A=A(isfinite(A))。n=length(A) 。 % 出去非數(shù)或無界的特征根 c=[1 zeros(1,n)]。 for j=1:n c(2:(j+1))=c(2:(j+1))A(j).*c(1:j)。 end else % 參數(shù)有誤則給出錯(cuò)誤信息 error (’Argument must be a vector or a square matrix.’) end. 第 1章 矩陣與行列式 【 實(shí)驗(yàn)過程 】 A = vander([1 2 3 4 5 6 7])。 運(yùn)行結(jié)果： A = 1 1 1 1 1 1 1 64 32 16 8 4 2 1 729 243 81 27 9 3 1