線性代數(shù)練習(xí)題(附答案)-資料下載頁
2025-06-28 20:31本頁面
【正文】 值；的特征值。3） 為階矩陣的元素全為1，則的個特征值是n , 0 , 0 , ……，0。4） 二次型是正定的，則的取值范圍是 。5）n階矩陣具有n個線性無關(guān)的特征向量是與對角陣相似的 充要 條件。6）n階矩陣具有n個不同的特征值是與對角陣相似的 充分 條件。7）設(shè)為3階矩陣，已知均不可逆，則一定相似于矩陣。8）已知相似，則。二．選擇題1．設(shè)是非奇異矩陣的一個特征值，則矩陣有一特征值等于（ B ）（） （） （） （）2．若是矩陣的對應(yīng)的特征向量，則矩陣對應(yīng)的特征向量（ A ）（） （） （） （）3．設(shè)是的實矩陣，則方程組只有零解是正定矩陣的（ C ）條件。（）充分 （）必要 （）充要 （）既非充分也非必要三．計算題1． 已知是的特征向量，其中，求及所對應(yīng)的特征值。解: ，解出 k = 1或 k = 22． 設(shè)是階方陣，2 ，4 ，6 ，……，2n 是的個特征值，是階單位陣，求。解: 3． 已知三階實對稱矩陣的三個特征值為 1，1，2，且是對應(yīng)的特征向量，求矩陣。解: 設(shè)特征值對應(yīng)的特征向量是，由，得，解此線性方程組，求出基礎(chǔ)解系4． 已知三階矩陣相似于對角陣，試求。解: 同理 所以5． 已知二次型的秩為2 ，（1） 求參數(shù)及二次型對應(yīng)矩陣的特征值。（2） 寫出標(biāo)準(zhǔn)形及所用的正交變換矩陣。解:(1), 標(biāo)準(zhǔn)形為, 正交變換矩陣為 6． 設(shè)4階方陣滿足條件，求方陣的伴隨矩陣的一個特征值。解: 是矩陣A的一個特征值。四．證明題：1． 設(shè)為實矩陣，為階實對稱矩陣且正定，證明：正定的充要條件是。證明：2． 已知為冪零矩陣（），證明：證明： 3． 設(shè)維向量線性無關(guān)，且與都正交，證明：線性相關(guān)。證明：若,則線性無關(guān)，而線性相關(guān)可由線性表示，且表示法唯一設(shè),則,從而線性相關(guān)。4． 設(shè)為階矩陣且正定，為實維列向量，當(dāng)時，有證明：線性無關(guān)。證明：令，兩邊左乘得：20
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