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大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)試題及答案-資料下載頁

2025-06-21 23:03本頁面
  

【正文】 最大線性無關(guān)組,故A的第4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。(A的第5列或4列,或5列也是)=1的2個線性無關(guān)的特征向量為ξ1=(2,1,0)T, ξ2=(2,0,1)T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化,得η1=,η2=.λ=8的一個特征向量為ξ3=,經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為T=.對角矩陣D=(也可取T=.)(x1,x2,x3)=(x1+2x22x3)22x22+4x2x37x32=(x1+2x22x3)22(x2x3)25x32.設(shè),即,因其系數(shù)矩陣C=可逆,故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1,x2,x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y122y225y32 .四、證明題(本大題共2小題,每小題5分,共10分)(EA)(E+A+A2)=EA3=E,所以EA可逆,且(EA)1= E+A+A2 .=b,Aξ1=0,Aξ2=0.(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2個解。(2)考慮l0η0+l1η1+l2η2=0,即 (l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0,否則η0將是Ax=0的解,矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假設(shè),ξ1,ξ2線性無關(guān),所以l1=0,l2=0,從而l0=0 .所以η0,η1,η2線性無關(guān)。7
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