山東建筑大學線性代數(shù)作業(yè)答案-資料下載頁
2025-05-31 12:13本頁面
【正文】 得A的特征值為l1=1, l2=5, l3=5. 對于l1=1, 解方程(AE)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 對于l1=5, 解方程(A5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 對于l1=5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, 2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 則 P1AP=diag(1, 5, 5)=L, A=PLP1, A100=PL100P1. 因為 L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 18. 用矩陣記號表示下列二次型:(1)。解：． (2).解：．19. 求一個正交矩陣化下列二次型成標準形:(1) 。解：二次型的矩陣為, 故的特征值為．當時, 解方程，由. 得基礎解系 . 取 當時，解方程，由，得基礎解系 . ?。敃r，解方程，由 得基礎解系 . 取 ，于是正交變換為. 且有 ．(2) .解：二次型矩陣為 ，故的特征值為當時，可得單位特征向量，當時，可得單位特征向量，當時，可得單位特征向量，．于是正交變換為 且有．20. 證明:二次型在時的最大值為方陣A的最大特征值.證明 為實對稱矩陣，則有一正交矩陣，使得成立．其中為的特征值，不妨設最大，為正交矩陣，則且，故則． 其中當時，即即． 故得證．, 并寫出所用變換的矩陣：(1)；解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3。 =(x1+x3)2x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12y22+y32,所用的變換矩陣為 (2).解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x22x2x3. . 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12+y22+y32,所用的變換矩陣為:(1) 。解：, ，， 故為負定． (2) .解：，, ,． 故為正定．, 證明為正定二次型.證明：因為所以A 對稱. 對于由于U 為可逆矩陣，有否則，若則必有矛盾. 所以當所以為正定二次型。, 證明存在可逆矩陣U, 使.證明：正定，則矩陣滿秩，且其特征值全為正．不妨設為其特征值，存在一正交矩陣使又因為正交矩陣，則可逆，．所以．令，可逆,則25. 試證:（1）A正定,則與也正定。（2）A與B均為n階正定陣, 則A+B為正定陣.證明：（1），（2）26. 選擇題：（1）設λ=2是非奇異矩陣A的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于（ b ）(a) (b) (c) (d) （2）設A為n階可逆陣，λ為A的一個特征值，則A的伴隨陣的一個特征值是（ b ）(a) (b) (c) (d) （3）設A為n階可逆陣，且（k為正整數(shù)）, 則（ c ）(a) A=0 （b）A有一個不為零的特征值(c) A的特征值全為零 （d）A有n個線性無關的特征向量（4）設是n階矩陣A的特征值，且齊次線性方程組的基礎解系為，則A的屬于的全部特征向量是（ d ）(a) （b）(c) (全不為零) （d）(不全為零)（5）下列二階矩陣可對角化的是（ c ） (a) (b) (c) (d) 班級 姓名 學號線性代數(shù)期末復習答案一．單項選擇題1.（C） 2.（B） 3.（C） 4.（C） 5.（D） 二． 填空題1． 2. 3. 4. 5. 三．. 四、 ， ， 五、 故 ， 且是原向量組的一個最大無關組.六、 因此齊次方程組的基礎解系為， 非齊次方程組的特解.故方程組的通解為 七、1. 設，則有 ， 線性無關， 所以線性無關. 2. 由，得，即， 所以， 即 故，所以，所以可逆. 八、（1） (2) ，所以A的特征值為：，對，解：， 對，解：， 對，解， ，，令 則 66
公司管理相關推薦
鄂ICP備17016276號-1