線(xiàn)性代數(shù)試題及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-28 21:47本頁(yè)面
【正文】 8分 10分12．已知3階非零矩陣的每一列都是方程組 的解.①求的值；②證明.解：①因?yàn)榉橇憔仃嚨拿恳涣卸际驱R次方程組的解，所以齊次線(xiàn)性方程組有非零解，即 5分②由題意可得， 8分 因?yàn)椋?，即不可逆，所? 10分注：第二問(wèn)也可以用反證法，方法對(duì)即可。13．設(shè)3階矩陣滿(mǎn)足等式,其中求矩陣。解： 3分 8分所以。 10分14．求向量組的秩及最大無(wú)關(guān)組。解：， 6分所以，任意兩個(gè)不成比例的向量組均是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 10分15. 設(shè) ； 2. 求的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。解：1. 二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣， 3分2．（二重） 6分 當(dāng)時(shí)，所以為對(duì)應(yīng)的特征向量。 8分當(dāng)時(shí)，所以為對(duì)應(yīng)的特征向量。 10分四、解答題（10分）16． ， 已知向量試討論為何值時(shí)（1）不能用線(xiàn)性表示；（2）可由唯一地表示，并求出表示式；（3）可由表示，但表示式不惟一，并求出表示式.解：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為方程組求解問(wèn)題增廣矩陣 5分（1）時(shí),(若則,若則) 方程組無(wú)解，即不能用線(xiàn)性表示 6分（2）時(shí)，方程組有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式： 8分（3）時(shí)，可由表示，但表示式不惟一，求表示式：， 10分五、證明題（每小題5分，共10分）17．設(shè)是一組維向量，證明它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線(xiàn)性表示。證明：充分性：是一組維向量，任一維向量都可由它們線(xiàn)性表示。因此有可由線(xiàn)性表示，因此有線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 3分必要性：線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此有線(xiàn)性相關(guān)，即有惟一解，所以向量可由向量組線(xiàn)性表示，由的任意性可得任一維向量都可由線(xiàn)性表示。 5分18．設(shè)為對(duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣，且可交換，可逆，證明：是正交矩陣。證明：為對(duì)稱(chēng)矩陣，為反對(duì)稱(chēng)矩陣，可交換， 2分 4分 所以是正交矩陣。 5分19
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