級(jí)線性代數(shù)試題和答案a卷-資料下載頁(yè)
2025-01-06 21:03本頁(yè)面
【正文】 值 2022 的特征向量為 k????????????????27121, k 為任意實(shí)數(shù) 屬于特征值 2022 的特征向量為 ,0122322321????????????????????????????kk 21 kk、 為任意實(shí)數(shù) 四、證明題（每題 6 分，共 12 分） 1. 已知向量組 )1(, 121 ?? sss ???? ? 線性無(wú)關(guān) , 向量組 s??? , 21 ? 可表示為),2,1(1 sit iiii ???? ???? , 其中 it 是實(shí)數(shù) . 證明 s??? , 21 ? 線性無(wú)關(guān) . 證明 用定義 . 假設(shè)存在 s 個(gè)數(shù) skkk , 21 ? , 使 02211 ???? sskkk ??? ?, 即 0)()()( 132222111 ??????? ?ssss tktktk ?????? ?, 也就是 0)()()( 11133212221111 ?????????? ??? sssssss tkktkktkktkk ????? ?. 又因?yàn)?)1(, 121 ?? sss ???? ? 線性無(wú)關(guān) , 所以上式中系數(shù)部分都為 0, 即 ?????????????????0000112111ssssstkktkktkk? 解得 021 ???? skkk ? , 故 s??? , 21 ? 線性 無(wú)關(guān) . 2. 設(shè) n 階矩陣 A 滿足 022 ??? EAA 且 EA? . 證明 A 相似于對(duì)角矩陣 . 證 由 022 ??? EAA 可得 ))(2(0)2)(( EAAEAEAE ??????? (1) 可得 A 的特征值為 1 或 2，要證明 A 相似于對(duì)角矩陣，也就是 A 可以對(duì)角化，即要證明A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 由（ 1）式有 nAErAErEArAEr ???????? )()2()()2( ， （ 2） 又 nEArAErEEAAE ???????? )()2()()2( 可得 （ 3） 綜合 （ 2）和（ 3）有 nEArAEr ???? )()2( ，不妨假設(shè) rnEArrAEr ????? )(,)2( ,則矩陣 2E+A 有 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，由（ 1）式中第一個(gè)等號(hào)知這 r 個(gè)列向量也是特征值 1 的特征向量；同理由（ 1）式中第二個(gè)等號(hào)可知矩陣 AE 的 nr 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量是 特征值 2 的特征向量。于是矩陣 A 有 r+（ nr） =n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向 量。故 A 可以對(duì)角化 .
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