線性代數(shù)試題及答案綜合測(cè)試題資料-資料下載頁(yè)
2025-06-28 21:51本頁(yè)面
【正文】 程組為： ，為自由未知量.令，得原方程組的一個(gè)特解：(0, 1, 0, 0)T.導(dǎo)出組的同解方程組為：，為自由未知量.令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(0, 1, 1, 0)T，(4, 1, 0, 1)T.所以，方程組的通解為：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2為任意常數(shù).：因?yàn)?當(dāng)a=2或a=6時(shí)，向量組相性相關(guān)；當(dāng)a≠2且a≠6時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān).：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以，A的特征值為：.對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為：，(c≠0).對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣A只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以， A不能相似于對(duì)角矩陣. ：(1) 利用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：. 令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.(2)由上述標(biāo)準(zhǔn)形知：二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2.四、證明題（本大題共6分）：由，得： A2+2A= E，從而 A(A +2E)= E, A(A 2E)= E所以A可逆，且.綜合試題四參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案BDDAABACDD二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11. 2b4a； 12. 32； 13.； 14. 2； 15. 3； 16. 1；17. 3； 18. 2； 19.； 20. 1三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）：按第一列展開(kāi)，得：原式= ：方法1 . 所以，故，=. 解法2 |A|=， ，=，所以，=. 23．解：因?yàn)?，所以是R3的一個(gè)基； 令 ，對(duì)此方程組的增廣矩陣施以初等行變換：，得：，所以，.24．解：令,即，整理得：.因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)， 所以，而此方程組有非零解，所以向量組線性相關(guān). ：對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換：，原方程組的同解方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系： 方程組的通解為： （c1 , c2為任意常數(shù)）：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以A的特征值為. 對(duì)于，解方程組，由于， 可得方程組的基礎(chǔ)解系為，. 故A的對(duì)應(yīng)于特征值2的全部特征向量為(c1,c2不全為零) .四、證明題（本大題共6分）：必要性 若線性無(wú)關(guān)，設(shè)是任意一個(gè)三維向量，則,線性相關(guān)，故可由線性表示.充分性 若任意一個(gè)三維向量都可由線性表示，則單位向量組可由線性表示，從而與等價(jià)，所以r() = r()=3，從而線性無(wú)關(guān). 綜合試題五參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案CDDCACACCA二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11. 0； 12. 4； 13. ； 14. ； 15.； 16. r = t ； 17. 6； 18. 2； 19. ； 20. 2.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21. 解 ：原式 .：由A+X=XA，得：X(AE)=A. 因?yàn)閨AE|=所以，AE可逆，且X= A(AE)1.又，所以，(AE)1=.從而，X= A(AE)1==. ：對(duì)矩陣A施以初等變換：.因?yàn)閞(A)=2，所以，5a=0且b1=0，即a=5， b=1. ：(1)對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.由線性方程組有解的充要條件知，當(dāng)時(shí)，方程組有解，且有無(wú)窮多解.(2)將代入上述矩陣，并施以初等行變換：.原方程組的同解方程組為：，x3為自由未知量.令x3=0，得到方程組的一個(gè)特解：.導(dǎo)出組的同解方程組為：，x3為自由未知量.令x3=1，得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：(1, 1, 1)T.所以，方程組的通解為：+k (1, 1, 1)T (k為任意常數(shù)).：.所以，A的特征值為： 對(duì)于，求線性方程組(A)x=o的基礎(chǔ)解系：，基礎(chǔ)解系：，所以，屬于的特征向量(1,1,1)T, 將其標(biāo)準(zhǔn)化得：. 對(duì)于，求線性方程組(EA)x=o的基礎(chǔ)解系：，基礎(chǔ)解系：，所以，屬于的特征向量(1,1,0)T, 將其標(biāo)準(zhǔn)化得：.對(duì)于，求線性方程組(3E A)x=o的基礎(chǔ)解系：，基礎(chǔ)解系：，所以，屬于特征值的特征向量(1,1,2)：.令Q=，Λ=，則Q是正交矩陣，且Q1AQ=Λ. ：二次型正定，其矩陣A也正定. 所以有： ，.所以，故a的取值范圍是：.四、證明題（本大題共6分） ：（反證法）設(shè)向量組線性相關(guān)， 因?yàn)橄蛄拷M線性無(wú)關(guān)，所以可由線性表示， 又因?yàn)榭捎删€性表示，所以可由線性表示，.
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