線性代數(shù)知識點(diǎn)歸納同濟(jì)第五版-資料下載頁
2025-06-28 21:51本頁面
【正文】 定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 若有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=； ④ 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； ⑤ 與對角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； ⑥ 兩個(gè)實(shí)對稱矩陣相似有相同的特征值.9. 正交矩陣 正交矩陣的性質(zhì)：① ；② ；③ 正交陣的行列式等于1或1；④ 是正交陣,則，也是正交陣；⑤ 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；⑥ 的行（列）向量都是單位正交向量組. 10. 例 實(shí)對稱陣，求正交陣，使得為對角陣. 解 所以A的特征值為，，當(dāng)時(shí)，解，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，解，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，解，得基礎(chǔ)解系為令令，則11. 施密特正交規(guī)范化 線性無關(guān), 單位化： 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交，再把第二個(gè)解向量代入方程，確定其自由變量. 第四部分 二次型1. 二次型及其矩陣形式2. 二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式3. 正定矩陣的判定1. ? 二次型 其中為對稱矩陣， ? 與合同 . （） ? 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù) 負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號差 (為二次型的秩) ④ 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. ⑤ 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：與等價(jià) ⑥ 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：2. 經(jīng)過 化為標(biāo)準(zhǔn)形. ? 正交變換法 ? 配方法（1）若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行， 直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形。（2） 若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 (), 則先作可逆線性變換 , 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按(1)中方法配方. ? 初等變換法 3. 正定二次型 不全為零，.正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣.4. 為正定二次型（之一成立）： （1） ，； （2）的特征值全大于； （3）的正慣性指數(shù)為； （4）的所有順序主子式全大于； （5）與合同，即存在可逆矩陣使得； （6）存在可逆矩陣，使得；5. （1）合同變換不改變二次型的正定性. （2） 為正定矩陣 ； . （3） 為正定矩陣也是正定矩陣. （4） 與合同，若為正定矩陣為正定矩陣 （5） 為正定矩陣為正定矩陣，但不一定為正定矩陣.6. 半正定矩陣的判定 一些重要的結(jié)論 ：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.√ 關(guān)于：①稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；②線性無關(guān)；③；④；⑤任意一個(gè)維向量都可以用線性表示.第 34 頁 共 34 頁
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