【正文】 向量組線性無(wú)關(guān)．4）線性相關(guān)．5）線性相關(guān)．向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)，必線性相關(guān)．填空題1） 設(shè)向量組線性相關(guān)，則 2 說(shuō)明：，則2） 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則必滿足關(guān)系式說(shuō)明：3） 若 維單位向量組可由向量組線性表示，則說(shuō)明：書72頁(yè)推論1選擇題1）向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是（C） 向量組中必有兩個(gè)向量的分量對(duì)應(yīng)不成比例 向量組中不含零向量 向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余的個(gè)向量線性表示 存在全為零的數(shù)，使得2）設(shè)其中是任意實(shí)數(shù)，則（C） 向量組總線性相關(guān) 向量組總線性相關(guān) 向量組總線性無(wú)關(guān) 向量組總線性無(wú)關(guān)已知向量組線性無(wú)關(guān)，證明：(1) 線性無(wú)關(guān)證明：設(shè)即，由線性無(wú)關(guān)得，即，因此線性無(wú)關(guān)．(2) 線性相關(guān)證法1：設(shè)即，由線性無(wú)關(guān)得，當(dāng)時(shí)方程組成立，因此線性相關(guān)．證法2：由，得線性相關(guān)．已知 ，問(wèn)：向量能否由向量組唯一線性表示？解：設(shè)，即方程組系數(shù)行列式，因此可由向量組唯一線性表示，． 向量組的秩填空題（1）若，則向量組是線性 無(wú)關(guān) 說(shuō)明：由知線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)的向量組減少向量個(gè)數(shù)還是線性無(wú)關(guān)．（2）設(shè)向量組的秩為，向量組的秩為，且，則與的關(guān)系為選擇題（1）若向量組是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，則論斷不正確的是（ B ）可由線性表示可由線性表示可由線性表示可由線性表示（2）設(shè)維向量組的秩，則（ B ） 向量組線性無(wú)關(guān) 向量組線性相關(guān) 存在一個(gè)向量可以由其余向量線性表示 任一向量都不能由其余向量線性表示（3）若和都是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，則（C） 求下列向量組的秩（必須有解題過(guò)程）（1）解：由，得向量組的秩為3．（2） （要討論）解：當(dāng)，時(shí)秩為3；當(dāng)時(shí)秩為2；當(dāng)時(shí)秩為1；利用矩陣的初等變換求下列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示．（1）解：為極大線性無(wú)關(guān)組，且．（2）,解：為極大線性無(wú)關(guān)組，已知向量組的秩為，1）求2）求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示．解：（1），（2）為極大線性無(wú)關(guān)組，．設(shè)維單位向量可由維向量組線性表出，證明向量組線性無(wú)關(guān)．證明：由維單位向量可由維向量組線性表出，且維單位向量可由維向量組線性表出，因此這兩個(gè)向量組等價(jià)，由的秩為，因此的秩為，因此線性無(wú)關(guān)．設(shè)，證明：線性無(wú)關(guān)．證明：設(shè)，即則由得：，系數(shù)行列式因此線性無(wú)關(guān)．設(shè)，若各向量組的秩分別為：，證明：向量組的秩為4．證明：反證法，假設(shè)向量組的秩小于4，由知，線性無(wú)關(guān)，根據(jù)書69頁(yè)定理5知：可由線性表示，設(shè)為，即 （1）再由，得線性相關(guān)，再由剛才定理知：可由線性表示，設(shè)為，代入（1）得：因此可由線性表示，則線性相關(guān)，與矛盾．因此向量組的秩為4． 向量空間設(shè)問(wèn)是不是向量空間，為什么？解：是向量空間，不是向量空間．（大家自己證明）向量在基，下的坐標(biāo)是．說(shuō)明：設(shè)方程，解之即可．略試證：由生成的向量空間就是，并求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．證：由，則線性無(wú)關(guān)，則為四個(gè)三維向量，必線性相關(guān)，且可由線性表示，因此，所生成的向量空間為．由施密特正交化法：，單位化得：，為空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．第四章 線性方程組填空題1）線性方程組無(wú)解，且， 則應(yīng)滿足 ＝4 ； 線性方程組有解，且，則應(yīng)滿足 ＝3 2）設(shè)是方陣，線性方程組有非零解的充要條件是．說(shuō)明：由，得3）設(shè)元線性方程組有解，若，則的解空間維數(shù)為 2 ．說(shuō)明：解空間的維數(shù)+結(jié)果為．4）設(shè)為四元非齊次線性方程組，是的三個(gè)非零解向量，則的通解為．說(shuō)明：由43＝1知該方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中應(yīng)包括一個(gè)向量，而是的一個(gè)解，因此齊次線性方程組的通解為，再由，以上二式相加除以2知，是的一個(gè)特解，因此的通解為5）若既是非齊次線性方程組的解，又是的解，則．說(shuō)明：由是非齊次線性方程組的解，可知為非零向量，因此有非零解，則其系數(shù)行列式必為0，推出．選擇題1）若齊次線性方程組 僅有零解，則（C） 2）線性方程組有唯一解的條件是（B） 只有零解 、都不對(duì) 3）若方程組中，方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，則（B） 一定無(wú)解 必有非零解 僅有零解 的解不能確定求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1）解：方程組化為：，設(shè)，解得，基礎(chǔ)解系為：2） 解：方程組化為令，解得：，令，解得：，基礎(chǔ)解系為：，求方程組 的特解．解：方程組化為，令，得，因此方程組的一個(gè)特解為：．求下列線性方程組的通解1）解：方程組化為：，設(shè)，得，通解為：2）解：方程組化為：選為自由未知量并令，(注意此處特解的取法)解得，于是該方程組的一個(gè)特解為其導(dǎo)出組的同解方程組為， 選為自由未知量并令，解得，于是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為方程組通解為：（3）四元線性方程組解： 由 知原方程組有無(wú)窮多組解． 先求原方程組一個(gè)特解，選為自由未知量并令，得，于是該方程組的一個(gè)特解為在其導(dǎo)出組中選為自由未知量并令得，令 得，于是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．綜合題（1） 已知三元非齊次線性方程組有特解，求方程組的通解.解：因?yàn)闉槿匠探M而，所以的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)解向量，由解的性質(zhì)，均是的解，顯然它們線性無(wú)關(guān)，可以構(gòu)成的一個(gè)基礎(chǔ)解系．由解的結(jié)構(gòu)知的通解為，其中為任意常數(shù)即．（2）取何值時(shí)，齊次線性方程組 有非零解？并求出一般解．解：因?yàn)樗o方程組是含三個(gè)方程三個(gè)未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當(dāng)系數(shù)行列式為0時(shí)方程組有非零解．由 可得，所以當(dāng)時(shí)原方程組有非零解．當(dāng)時(shí)，原方程組變?yōu)?，選為自由未知量并令并令得， 得于是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)．（3）取何值時(shí)，齊次線性方程組 有非零解？并求出其通解．解：因?yàn)樗o方程組是含三個(gè)方程三個(gè)未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當(dāng)系數(shù)行列式為0時(shí)方程組有非零解．由