【正文】 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?α α α 可見 ? ?1 2 3, , 2 3Rm? ? ?α α α , 故向量組線性相關(guān) . (2) ? ? 2 131232131241 2 0 2 0 0 1 0, 3 0 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 1 0 0r rrTTrrrr????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?α α 可見 ? ?12, 2 2Rm? ? ?α α , 故向量組線性無關(guān) . (3) ? ?13422332421 2 3 42321 3 2 1 0 3 5 2 1 0 3 32 1 1 0 0 1 5 6 0 1 5 6,1 0 3 3 1 0 3 3 0 3 5 22 1 2 1 0 2 3 1 0 2 3 11 0 3 3 1 0 3 30 1 5 6 0 1 0 10 0 20 20 00 0 13 13rrTTTTrrrrrrrr?????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ????? ????α α α α0 1 10 0 0 0?????? ??? 可見 ? ?1 2 3 4, , , 3 4Rm? ? ?α α α α , 故向量組線性相關(guān) . (4) ? ?222132 23122717 1 621 2 3 4 62712002 1 0 1 2 1 0 1 22 1 0 17 11 6 11 1, , , 1 3 3 5 0 3 0 1 0 1 02 2 7 7 20 2 4 60 2 4 6 516 20 0 0 100477rrrrTTTTrr rrrr?? ?????? ?????? ? ? ??????? ???? ??? ? ? ??????????? ???? ??α α α α 可見 ? ?1 2 3 4, , , 3 4Rm? ? ?α α α α , 故向量組線性相關(guān) . 解法二 現(xiàn)有 4 個(gè) 3 維 , 43? , 所以給出的向量組 線性相關(guān) . P53推論 任意 ()mm n? 個(gè) n 維向量線性相關(guān) . 求下列矩陣的秩 (1) 1 2 1 03 2 1 21 1 3 3????????? (2)2 1 3 01 2 1 12 1 1 32 1 4 0?????????? (3) 2 1 0 31 2 1 23 1 1 5????????? (1) 32213 1 3 2 2212213 54132 21 0 0 1 1 0 0 11 2 1 0 1 2 1 01 1 13 2 1 2 0 4 2 2 0 1 0 1 02 2 51 1 3 3 0 3 4 353 300 0 0 122 5rrrrr r r r rrrr???? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? 可見秩 3R? . (2) 21323141 431522472 1 3 02 1 3 02 1 3 0 2 1 3 0 0 2 1 0511 2 1 1 0 2 1 001722 0 0 22 1 1 3 0 5 1 1 20 0 2 3292 1 4 0 0 0 2 30 2 1 0 0 0 07rrrrrrrr rr???? ???????????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ??? ???? ? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ? ?????? 可見 秩 4R? . 或311 1 1 34112572427 132 1 3 0 0 5 1 2 0 0 2 0 0 0241 2 1 1 1 2 1 11 2 1 1 1 2 1 12 1 1 3 0 0 2 30 0 2 3 0 0 2 32 1 4 0 0 2 1 00 2 1 0 0 2 1 01 2 1 10 2 1 00 0 2 3130 0 04rrr r r rrr?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ?? ?????,4R ? (3) 32 232213 2122 1 0 32 1 0 3 2 1 0 3511 2 1 2 0 1 0 5 2 1 , 2223 1 1 5 0 0 0 00 5 2 1rr rrrrr R????????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ????? 求解下列齊次線性方程組 (1) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 02020x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??。 (2) 1 2 31 2 31 2 3203 3 0。2 3 0x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ?? (3) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 4 03 6 9 1 2 0 。2 4 6 8 0x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? (1) 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換 322131 312123 21 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 01 1 2 1 0 3 3 3 0 1 1 12 1 1 1 0 3 3 3 0 0 0 0rrrrrr rrr??? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 得 簡化行階梯形 (Reduced row echelon form, RREF). 對(duì)應(yīng)的同解方程組為 132 3 400xxx x x???? ? ? ?? , 方程組 的 解 為 ? ?1121 2 1 2121011 ,1001kkk k k k kkk? ??? ? ? ? ???? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???x 161。. (2) 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換 3221 2331132 321 222 1 12 1 1 2 1 1 2 1 1913 3 1 0 0 9 1 0 9 1221 2 3 0 3 7 2237 000 322rrrr rrrr?????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????????? ???? ?? ???? 3Rn?? , 方程組有唯一零解0000?????????????x . (3) 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換 2131321 2 3 4 1 2 3 43 6 9 12 0 0 0 02 4 6 8 2 0 0 0rrrr??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?A 得 ? ?1 2 311 2 3 1 2 3232 3 4 2 3 41 0 0 ,0 1 00 0 1k k kk k k k k k kkk?? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???x 161。 求一個(gè)齊次線性方程組使他的基礎(chǔ)解系為 12(1 , 1 , 2 , 0) , ( 0 , 2 , 2 , 3 )TT??? ? ? ? 由題意 , 齊次線性方程組的通解為 ? ?121 2 1 2341012 ,2203xx k k k kxx?? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ???161。, 或 112 1 23 1 2422223xkx k kx k kxk????? ??????? ??. 從中消去 12,kk, 得 1 2 41 3 42 032203x x xx x x? ? ? ????? ? ? ??? 即為所求 . 解法二 : 設(shè)所求的齊次線性方程組為 1 2 2 3 3 4 42 3 3 4 400x a x a x a xx b x b x? ? ? ??? ? ? ?? 將 12(1 , 1 , 2 , 0) , ( 0 , 2 , 2 , 3 )TT??? ? ? ?分別代入 方程組 , 得 ? ?232 3 41 2 0 .. .. .. 12 2 3 0aaa a a? ? ??? ? ? ?? , ? ?3341 2 0 .. .. . 22 2 3 0bbb? ? ??? ? ? ?? 解方程組 (1), 得其中一個(gè)解 2 3 41, 1, 0a a a? ? ? ? ?. 解方程組 (2), 得其中一個(gè)解 341 2 , 1 3bb? ? ? . 從而得一個(gè)滿足要求的方程組 1 2 32 3 4011 023x x xx x x? ? ???? ? ? ??? 求下列非齊次線性方程組的通解 (1) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 12 2 23x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?? (2) 1 2 31 2 31 2 32 3 12 3 13 2 2x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ???? ? ?? (3) 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 22 2 3 3 14 2 2 2x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?? (1) 對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換 , 將之化為 簡化行階梯形 22 3 3 11 3 3 2 1 213241 0 1 02 1 2 1 1 0 3 0 3 5 1 1 1 1 3 31 2 1 2 2 0 3 0 3 5 0 3 0 3 5 50 1 0 131 1 1 1 3 1 1 1 1 3 0 0 0 0 00 0 0 0 0rr r r rr r r r r r??? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? 立刻得到 方程組 的 解 ? ?1 2 1 2410 30 1 5 ,3100010k k k k?????? ? ? ???? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????x 161。 (2) 對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換 , 將之化為 簡化行階梯形 2 32 1 1 23 1 3 2 2 313122 183 5 5741 0 091 2 3 1 1 2 3 1 1 0 7 582 3 1 1 0