線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-28 22:10本頁(yè)面
【正文】 因?yàn)锳是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使因?yàn)锽是實(shí)反對(duì)稱矩陣，所以也是實(shí)反對(duì)稱矩陣，因此它的特征值實(shí)部為零，故AB的特征值實(shí)部也為零． 41．設(shè)A是正定矩陣，B是半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，則AB的特征值是非負(fù)的實(shí)數(shù)． 證：由于A是正定的，所以也是正定的，于是存在可逆矩陣P，使得，因此 即.由于B是半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，故是半正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，因此的根是非負(fù)實(shí)數(shù)．于是的根也是非負(fù)實(shí)數(shù)，即AB的特征值是非負(fù)的實(shí)數(shù)． 42．求證實(shí)二次型的秩和符號(hào)差與k無(wú)關(guān)． 證：二次型的矩陣為 對(duì)矩陣A作合同變換，即把A的第1行的(2)，(3)，…，(n)倍加到第2，3，…，n行上；同時(shí)把A的第1列的(2)，(3)，…，(n)倍加到第2，3，…，n列上，得到與矩陣A合同的矩陣B為 對(duì)矩陣B作合同變換，即把B的第2行的倍依次加到第1，3，4，…，n行上；同時(shí)把B的第2列的倍依次加到第1，3，4，…，n列上，得到與矩陣B合同的矩陣C為由合同變換的傳遞性，故A與C合同，于是原二次型可經(jīng)可逆線性變換化簡(jiǎn)成再作可逆線性變換 于是二次型f化成規(guī)范形 顯然二次型的秩為2，符號(hào)差為0，它們的值均與k無(wú)關(guān)． 43．設(shè)二次型，其中a、b為實(shí)數(shù)，問(wèn)a、b滿足什么條件時(shí)，二次型f正定． 證：二次型 f的矩陣A的各階順序主子式的值與它的階數(shù)n的奇偶性有關(guān)： （1）當(dāng)n=2m+1時(shí)，二次型f的矩陣為它的各階順序主子式為 （2）當(dāng)n=2m時(shí)，二次型f的矩陣為它的各階順序主子式為綜合（1），（2）可知：當(dāng)時(shí)，二次型f是正定的． 44．設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，r(A)=n,是中元素的代數(shù)余子式，二次型 （1）記，把寫(xiě)成矩陣形式，并證明二次型f（X）的矩陣為． （2）二次型與f(X)的規(guī)范形是否相同？說(shuō)明理由． 證：方法一 （1）因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，故．由r(A)=n, 故可逆，且二次型的矩陣形式為從而. 故也是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為． （2）因?yàn)?，所以A與合同，于是二次型與f(X)有相同的規(guī)范形． 方法二 （1）同證法１ （2）對(duì)二次型作可逆線性變換， 其中則 ===由此可知A與合同，二次型與f(X)有相同的規(guī)范形． 45．試說(shuō)明二次型 +當(dāng)時(shí)，無(wú)論n為何值，的秩均為2． 解：，其中對(duì)矩陣A作行的初等變換，可得. 所以當(dāng)時(shí)，A的秩為2，這與n的取值無(wú)關(guān)，因此二次型f的秩為2． 46．已知A是n階正定矩陣，令二次型的矩陣為B，求證：（1）B是正定矩陣；（2）． 證：（1）設(shè)，則 顯然B為實(shí)對(duì)稱矩陣，且B與A的前n1階順序主子式完全相同，由于A是正定矩陣，故它的各階順序主子式全大于零，因此B的前n1階順序主子式也全大于零． 現(xiàn)考慮B的第n階順序主子式即它的行列式，有 += （*）可見(jiàn)B是正定矩陣． （2）由（*）即知． 47．設(shè)n元實(shí)二次型， 是A的特征值，且． 證明：對(duì)于任一實(shí)維列向量X有. 證：設(shè)的特征值，則存在正交變換X=PY，使 由已知條件，有 （1）又因?yàn)镻是正交矩陣，于是有將此結(jié)果代入（1）即為 48．證明：若二次型是正定二次型，則是負(fù)定二次型． 證：因?yàn)閒 是正定二次型，故它的表示矩陣A是正定矩陣，因此A是可逆矩陣，作可逆線性變換Y=AZ．對(duì)上述行列式的列作消法變換，將第j列的倍加入第n+1列，其中則 ===因?yàn)锳是正定矩陣，所以0，可見(jiàn)是負(fù)定二次型． 49．設(shè)A是正定矩陣，則 （1），其中是A的n1階順序主子式； （2）． 解：（1）因?yàn)锳是正定矩陣，故也是正定矩陣，于是由48題知=是負(fù)定二次型，因此由行列式的加法運(yùn)算有其中為A的順序主子式． 1 當(dāng)中至少有一個(gè)不為零時(shí)，0 2 當(dāng) 時(shí)，則. 總之有. （2）：由（1）得 50．設(shè)是n階可逆矩陣，求證：. 證： 因?yàn)镻是可逆矩陣，故是正定矩陣，由49題的結(jié)論（2），有顯然 ，所以有.143
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