【正文】 例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；由低而高 運(yùn)用技巧，省時不少，無論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計算方法，則可自如推廣運(yùn)用到高階情形；由簡而繁 一些運(yùn)算法則，先試用于簡單情形，進(jìn)而應(yīng)用于復(fù)雜問題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對角化問題等等；由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如境地?？傊瑪?shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過程中一定要認(rèn)真仔細(xì)地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，華而不實靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗與教訓(xùn)，做到融會貫通。A1(k≠0)（2）（AB）1=B11（二）線性組合和線性表示線性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化1Schmidt正交化設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)（1）正交化令β1=α1（2）單位化線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量解的形式：(1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）解的定義：若η=（c1，c2，…，）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個數(shù)）（2）有非零解←→r（A）＜n非齊次方程組：（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n解的性質(zhì)：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1η2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為Ax=b的解（當(dāng)Σki=1）Ax=0的解（當(dāng)Σki=0）（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個線性無關(guān)的解，則η2η1，η3η1，…，ηsη1為Ax=0的s1個線性無關(guān)的解。（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。（2）p=正特征值的個數(shù)，q=負(fù)特征值的個數(shù)，p+q=非零特征值的個數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結(jié)：n階實對稱矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個數(shù)（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個層次，一是矩陣的符號運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。關(guān)于特征值、特征向量。而行列式和矩陣有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個具體的數(shù)值，并且行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的。再者，在自身學(xué)習(xí)過程中，我想說明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個引導(dǎo)作用。所以在改革中，應(yīng)該拿線性方程組為應(yīng)用的實例，來一步一步的解剖概念和定理。對于后來學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書看看前面是怎么說的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識后，再看前面的知識，會對前面的知識有一個新的認(rèn)識，會更好的加深對它的理解和記憶。然后對于書上花了很大的篇幅寫的matlab實驗，我覺得這是好事，但是在教學(xué)中老師是不會教我們的，因為課時有限，這是情理當(dāng)中的，但是作為學(xué)生，我覺得應(yīng)該好好地利用書上的資源，單靠做練習(xí)的筆頭功夫是難以解決實際問題的。當(dāng)然在學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點的能力，注意各個章節(jié)的聯(lián)系。總體看來，我們使用的課本題型簡單易懂，非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來講，而不一定要講書上的例子。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應(yīng)的特征向量，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。 初等矩陣都是可逆的。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量相似對角化的充要條件（1）A有n個線性無關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個線性無關(guān)的特征向量1相似對角化的充分條件：（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）（2）A為實對稱矩陣1重要結(jié)論：（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數(shù)，nr（A）為零特征值的個數(shù)（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數(shù)（四）實對稱矩陣1性質(zhì)（1）特征值全為實數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P1AP=Λ（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對角線）二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。任意nr（A）個線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。線性表示的求法：（大題第二步）設(shè)α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β可由其線性表示。初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij1=Eij（i，j兩行互換）；Ei1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij1（k）=Eij（k）（第i行乘k加到j(luò)）★（四）矩陣的秩秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O（2）r（Ann）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=…、n1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。三、注重邏輯性與敘述表述線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價，但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。樓主 大 中 小 發(fā)表于 20081010 23:50 只看該作者線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié).√ 關(guān)于 ：①稱為 的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；② 線性無關(guān)；③ ； ④ ；⑤任意一個 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計算：① 若 都是方陣（不必同階）,則②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關(guān)于副對角線：√ 逆矩陣的求法:① ②③④⑤√ 方陣的冪的性質(zhì)：√ 設(shè)，對 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個多項式.√ 設(shè)的列向量為 , 的列向量為，的列向量為 , √ 用對角矩陣 左乘一個矩陣,相當(dāng)于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對角矩陣 右乘一個矩陣,相當(dāng)于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘，與分塊對角陣相乘類似,即：√ 矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng) 時，√和 同解（列向量個數(shù)相同）,則： ① 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；② 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√ 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件：①線性無關(guān)；②是 的解；③.①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).③部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).④原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤兩個向量線性相關(guān) 對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥向量組 中任一向量≤ ≤ 都是此向量組的線性組合.⑦向量組 線性相關(guān) 向量組中至少有一個向量可由其余 線性無關(guān) 向量組中每一個向量 都不能由其余 個向量線性表示.⑧維列向量組 線性相關(guān) ；維列向量組 線性無關(guān).⑨.⑩若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān),則 可由 線性表示,且表示法惟一.?.?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,和 ： 矩陣等價：?矩陣 與 等價作為向量組等價,即： 與 作為向量組等價矩陣 與 等價.?向量組 可由向量組 線性表示≤.?向量組 可由向量組 線性表示,且，則 線性無關(guān),且可由 線性表示,則 ≤.?向量組 可由向量組 線性表示,且,則兩向量組等價；?任一向量組和它的極