【導(dǎo)讀】a,則向量b與a平行的充要條件是：存在實數(shù)?例1已知兩點)2,2,2(1M和)0,3,1(2M,計算向量?21MM的模、方向余弦和方向。例1試建立頂點在坐標(biāo)原點O旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為?軸,準(zhǔn)線為的柱面.為了了解三元方程F=0所表。示得的曲面的形狀，我們通常采用截痕法。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。同學(xué)們可試用截痕法。方程所表示的曲面叫做單葉雙曲面?？臻g曲線可以看作兩個曲面的交線。表示曲線C在xOz面上的投影。Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向，

　　

【正文】 D上的最大值和最小值， s 是 D的面積，則有 。 上述不等式是對二重積分估值的不等式。 性質(zhì) 7（二重積分的中值定理） 設(shè)函數(shù) f（ x， y）在閉區(qū)域 D上連續(xù)， s 是 D的面積，則在 D上至少存在一點（ x ， h ）使得下式成立： 二重積分的計算法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)） 按照二重積分的定義來計算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域 來說，這不是一種切實可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。 一、 利用直角坐標(biāo)計算二重積分 下面用幾何的觀點來討論二重積分 的計算問題。 在討論中我們假定 f（ x， y） ? 0 。并設(shè)積分區(qū)域 D可以用不等式 j 1（ x） ? y ? j 2（ x）， a?x?b 其中函數(shù) j 1（ x）、 j 2（ x）在區(qū)間 [a， b] 上連續(xù)。 我們應(yīng)用 “ 平行截面面積為已知的立體的體積 ” 的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。 為計算截面面積，在區(qū)間 [a， b] 上任意取定一點 x0，作平行于 yOz面的平面 x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 [j 1（ x0）， j 2（ x0） ] 為底、曲線 z = f（ x0， y）為曲邊的曲邊梯形中陰影部分），所以這截面的面積為 。 一般的，過區(qū)間 [a， b] 上任一點 x且平行于 yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為 ， 于是，得曲頂柱體的體積為 。 這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式 。（ 1） 上 式右端的積分叫做先對 y、后對 x的二次積分。就是說，先把 x看作常數(shù)，把 f（ x， y）只看作 y的函數(shù)，并對 y計算從 j 1（ x）到 j 2（ x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是 x的函數(shù)）再對 x計算在區(qū)間 [a， b] 上的定積分。這個先對 y、后對 x的二次積分也常記作 。 因此，等式（ 1） 也寫成 ，（ 1’ ） 在上述討論中，我們假定 f（ x， y） ? 0 ，但實際上公式（ 1）的成立并不受此條件限制。 類似地，如果積分區(qū)域 D可以用不等式 ψ 1（ y） ? x ? ψ 2（ y）， c?y?d 其中函數(shù) ψ 1（ y）、 ψ 2（ y）在區(qū)間 [c， d] 上連續(xù)，那末就有 。 上式右端的積分叫做先對 x、后對 y的二次積分，這個積分也常記作 。 因此，等式（ 2）也寫成 ，（ 2’ ） 這就是把二重積分化為先對 x、后對 y的二次積分的公式。 如果積分區(qū)域 D既不是 X型的，也不是 Y型的，我們可以把 D分成幾個部分，使每個部分是 X型區(qū)域或是 Y型區(qū)域。如果積分區(qū)域 D既是 X型的，又是 Y型的，則由公式（ 1’ ）及（ 2’ ）就得 。 上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因為它們都等于同一個二重積分 。 二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域 D的類型來確定的。 例 1 計算 ，其中 D是由直線 y = x = 2及 y = x所圍成的閉區(qū)域。 例 2 求量各底圓半徑都等于 R的直交圓柱面所圍成的 立體的體積。 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 有些二重積分，積分區(qū)域 D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量 r， θ 比較簡單。這時，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計算二重積分 。 按二重積分的定義有 ， 由于在直角坐標(biāo)系中 也常記作 ，所以上式又可寫成 這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式為 (1)0?r?φ （ θ ）， α?θ?β 。 (2)0?r?φ （ θ ）， 0?θ?2π 。 由二重積分的性質(zhì) 4，閉區(qū)域 D的面積 s 可以表示為 。 在極坐標(biāo)系中，面積元素 ds = rdrdθ ，上式成為 。 。 特別地，如果閉區(qū)域 D如圖 928所示，則 φ 1（ θ ） ≡0 ， φ 2（ θ ） =φ （ θ ）。于是 。 例 3 計算 ，其中 D是由中心在原點、半徑為 a的圓周所圍成的閉區(qū)域。 例 4 求球體 x2+y2+z2?4a 2圓柱面 x2+y2=2ax（ a0）所截得的（含在圓柱 面內(nèi)的部分）立體的體積。 一、 三重積分的概念 定義 設(shè) ),( zyxf 空間有界閉區(qū)域 ? 上的有界函數(shù)。將 ? 任意分成 n 個小閉區(qū)域 , 21 nvvv ??? ? 其中 iv? 表示第 i 個小閉區(qū)域，也表示它的體積。在每個 iv? 上任取一點 ),( iii ??? ,作乘積),2,1(),( nivf iiii ?????? 并作和 iiiini vf ??? ),(1 ???.如果當(dāng)各個小閉區(qū)域直徑中的最大值 ? 趨于零時這和的極限為函數(shù) ),( zyxf 在閉區(qū)域 ? 上的三重積分。記作???? dxzyxf ),( . 三、 三重積分的計算 1． 利用直角坐標(biāo)計算三重 積分 ? ?xyDyxyxzzyxzzyx ????? ),(),(),(),( 21 . ?? ),(),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF ?? ddzzyxfdyxFD Dyxzyxzxy?? ?? ? ???????),(),(21 ),(),( ? ?bxaxyyxyyxD xy ????? ),()(),( 21 ?????? ?? ),( ),()( )( 2121 ),(),( yxz yxzxy xyba dzzyxfdydxdvzyxf 例 1 計算三重積分 ???? xdxdydz,其中 ? 為三個坐標(biāo)面及平面 12 ??? zyx 所圍成的區(qū)域。 2． 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 ?????? ?? ? ,),(),( dzddzFdx dy dzzyxf ????? 例 2 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 ???? ,zdxdydz其中 ? 是由曲面 22 yxz ?? 與平面4?z 所圍成的閉區(qū)域。 用球面坐標(biāo)計算三重積分 ???????? ? ,s i n),(),(2 ????? ddr drrFdx dy dzzyxf 例 3 求半徑為 a 的球面與半頂角為 a 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。 9． 4. 重積分的應(yīng)用 一、 曲面的 面積 曲面 S ),( yxfz? 曲面面積 ?dyxfyxfAD yx?? ??? ),(),(122 例 1 求半徑為 a 的球的表面積。 二、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力