[工學(xué)]第七章_歐氏空間-資料下載頁
2025-01-19 12:09本頁面
【正文】 施瓦茲不等式在酉空間中也成立。 v ???????? ,, 2 ??? 則v???? ?? , ??與 定義 3. 設(shè) 是酉空間， 時， 稱 正交 . v 0, ?? ???? 當(dāng)v??與 說明：零向量與任意向量相交。 定義 4. 的一組兩兩正交的向量組叫 的一組正交組， 的正交組中每一個向量都是單位向量，則稱該正交組 為一個規(guī)范正交組。 vvv說明：與歐氏空間一樣 ,設(shè) V是 n維酉空間則： ① 中兩兩正交的 n個線性無關(guān)的向量組 叫的 一個正交基。 vn?? ?1v② 中兩兩正交的個線性無關(guān)的單位向量 叫的 一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。 v n?? ?1③ 中一組線性無關(guān)的向量組，總可以用施密特正交化 方法進(jìn)行正交化，并擴(kuò)充成一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。 v定義 5. 設(shè) 是酉空間 的一個有限維子空間令 則 是 的子空間，稱為 的正交補，且 . w v},0,/{ vvw ?????? ????? ?wv w??? wwv定義 6. 設(shè) 是 n階復(fù)矩陣，如果 則稱為一個 酉矩陣。 U IUUUU ?? 39。39。① （其中 的共軛） ijijij UUUU 是),(?② 39。1 UU ??定理 2. n維酉空間一個規(guī)范正交基則另一個規(guī)范 正交基的過渡矩陣是一個酉矩陣。 酉變換的對稱變換 定義 1: 酉空間的一個線性變換 σ是一個酉變換 . 如果 都有 , V????? ? ? ?,? ? ? ? ? ??與歐氏空間平行 ,有 : σ是維的酉空間的一個線性變換 ,則 σ是酉變換 σ把規(guī)范正交基變?yōu)橐?guī)范正交基 σ關(guān)于規(guī)范正交基的矩陣是酉矩 陣 ??說明 : 定義 2: 酉空間了 的一個線性變換 σ叫做一 個對稱變換 (也稱為厄米特變換 ).如果 對 都有 V, V????)(,),( ?????? ?定義 3: 階復(fù)矩陣 是一個埃爾米特矩陣 ,如 果 。 n H39。HH?1 實對稱矩陣 是一個厄米特矩陣的特 殊情況 . H說明： 定理 1: σ是 維酉空間 的一個線性變 換 ,則 σ是對稱變換 σ關(guān)于規(guī)范 正交基的矩陣是厄米特矩陣 . n V?定理 2: 設(shè) σ是 維酉空間的一個對稱變 換 .則 (1) σ的特征值都是實數(shù) . (2)σ屬于不同基特征值的本 征向量彼此正交 . n此定理給出對稱變換的性質(zhì) . 定理 3： 設(shè) 是一個 階厄米特矩陣 ,則存在 一個 階酉矩陣 ,使得 是一個實對角形式 . 即 : 任何一個 厄米特矩陣都“酉相似”一個實對角陣 . H nn 39。 1U H U U H U??說明 :
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