[工學(xué)]第七章_歐氏空間(編輯修改稿)
2025-02-15 12:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 = Ｕ得到是標(biāo)準(zhǔn)正交基。 }{ 21 n??? ，， ?},{ 21 n??? ?，},{ 21 n??? ?，定義 設(shè) W是歐氏空間 V的一個(gè)非空子集 .如果 ,且 與 W中每一個(gè)向量正交，則稱 與 W 正交，記為 : V??? ? ?0, ??? WW ?? 或說明： ① V中與 W正交的向量所成的子集記為 , ?W}0,/{ ????? WVW ??即② WW ??③ W是 V的一個(gè)子空間 . 定理 4. 令 W是歐氏空間 V的一個(gè)有限維子空間 . 那么 ??? WWV因而 V中每一向量可以唯一寫成 ??? ??這是 , .是唯一的 . W?? ??W?定理 5 設(shè) W是歐氏空間 V的一個(gè)有限維子空間， ξ是 V的任意向量， η是 ξ在 W上的正射 影，那么對(duì)于 W中任意向量 .都有 ????? ? ? ? ?? ? ?說明 : 把在上的正射影叫做到的最佳逼近 . 定義 4 歐氏空間 39。VV與 是同構(gòu)的，如果： （ i）存在 39。VV到 的一個(gè)同構(gòu)映射： 39。: VVf ?（ ii）對(duì) , V???? 都有 ????? )(),(, ???? ff說明： ① （ ii）稱為保內(nèi)積不變 ② 如果 f 是歐氏空間 39。VV到 的同構(gòu)映射，則 f 是向量空間 39。VV到 的同構(gòu)映射，因而同構(gòu)的 歐氏空間有相同維數(shù)。 定理 6 說明： ① 任意 n維歐氏空間與 nR 同構(gòu)。 兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu) ? 維數(shù)相等。 ② 歐式空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定。 正交變換 定義 的一個(gè)線性變換 叫做一個(gè)正交變換。如果對(duì)于任意 。都有： V ?V??|||)(| ??? ?說明 ：保持向量長度不變的線性變換叫正交 變換。（旋轉(zhuǎn)變換，鏡面反射等都是正交變換）。 定理 1. 設(shè) 是歐氏空間的一個(gè)線性變換。則 ?),.()(),(, V??????? ?????????（保持內(nèi)積不變） 是正交變換 （ ） ? ? |||)(| ??? ? V?? （保持長度不變） 說明 ：正交變換保持夾角不變 ? ? 把 的標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成標(biāo)準(zhǔn)正交基。 V? 關(guān)于 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣 是正交矩陣。 V? 對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣 定義 2 若 是數(shù)域 上 階矩陣，如果 A F n A等于它的轉(zhuǎn)量，即 ，則稱 是 對(duì)稱矩陣。 39。AA? A定義 1 設(shè) 是歐氏空間 的一個(gè)線性變換。 ? V( ) , , ( )? ? ? ? ? ?? ?? ? ?則稱 是一個(gè)對(duì)稱變換。 如果對(duì) ，有 ?V?? ?? ,定理 1 設(shè) 是歐氏空間 的一個(gè)線性變換， ? V 是對(duì)稱變換 關(guān)于 的標(biāo)準(zhǔn) ? ? ? V正交基的矩陣是對(duì)稱矩陣。 說明： 對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣是 11對(duì)應(yīng)的。 定理 2 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根都是實(shí)數(shù)。 說明： 由于我們是在實(shí)數(shù)域上引入向量的“內(nèi)積”概念，即歐氏空間都是在實(shí)數(shù)域上進(jìn)行討論的，故對(duì)稱變換 的特征多項(xiàng)式的根都是 的特征根。 ??定理 3： n維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱變換的屬 于不同特征根的特征向量彼此正交。 說明： 一個(gè)線性變換關(guān)于不同特征根的特征 向量是線性無關(guān)的。 定理 4： 設(shè) 是 n維歐氏空間 的一個(gè)對(duì)稱變換 ?那么存在 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使
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