[工學]第七章_歐氏空間-文庫吧資料
2025-01-25 12:09本頁面
【正文】 積不變 ② 如果 f 是歐氏空間 39。VV與 是同構的，如果： （ i）存在 39。 （ 2）由定理可以得到：如果 是標 準正交基 ,Ｕ是正交矩陣，則由 = Ｕ得到是標準正交基。 11111111 ????????? kkkkkkkk ??? ????? ???? 〉〈 〉〈〉〈 〉〈定義 2. 一個 n階實矩陣Ｕ叫做一個正交矩陣，如果： IUUUU ????說明：由定義得： 說明： UU ??? 1 定理 3：維歐氏空間Ｖ的一個標準基到另一個標準 正交基的過渡矩陣Ｕ的正交矩陣。 因而有標準正交基。則由 正交化方法可得到 v的一個正交基。有 的書上稱為施密特正交化方法。而且給出 一個具體求正交組的方法。（ k=1， 2， m）。 說明： ① 正交組是線性無關的向量組。如果這組向量都是單 位向量。 定理 2 如果 W是歐氏空間 V的一個子空間，那么 對 V的內積來說， W也是一個歐氏空間。,(),( ???? dd ?(iii) 三角不等式： ).,(),(),( ?????? ddd ??稱 (i)、 (ii)、 (iii)為距離公理。 稱為內積勾股定理。 在 中， [ , ]C a b],[, baCgf ?? ，規(guī)定 , baf g fg d x? ? ? ? 則 22b b ba a afg d x f d x g d x?? ? ?這也是大家熟知的 Shwarz(施瓦茲 )不等式。 ① .)(),(,11 nnnn RbbaaR ??? ?? ??取中在, 11 nn baba ????? ???則 由定理 1得： ))(()( 221221211 nnnn bbaababa ??? ?????這正是大家熟知的 Cauchy（柯西）不等式。 ③ 今后，談到歐氏空間 nR ，如無特殊情況， 它的內積為： 1,nnnkxy???? ? ? ?內積的性質： （ 1） V??? ，有 00 ??? ，?（ 2）如果 V??? ，有 00 ????? ??? ，特別地，若 00, ????? ???（ 3） 有RaV ???? , ????????????????? ??????????? , aa；（ 4） RbbaaV ；nrnr ???? ???? 1111 , ????? ? ??? ? ???????njrinjjijijjirii baba：1 1 11, ????有定義 2 設 ：V 為的長度，則 ??? ?〉，〈 ??? ?① 向量的長度是零 ,非零向量的長度是正數 ② ?? aa ?③ 長度是 1的向量，稱為單位向量。0?這里 ,V a R? ? ? ? ?? ? ? ?、 、 是 中 任 意 向 量 、 則叫向量 ??與 的內積，而 V叫做對這個內積來說的一個 歐氏空間，記作 ).,( ????、V說明： ①定義中的 1） —— 4）稱為內積公理。????? ???? 、１） , , ,? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?２） ３） , , 。 四、課時： 20學時 167。 二、重點： 內積，歐氏空間，正交，標準正交組，標準正交基， 正交變換，對稱變換。第七章 歐氏空間 一、教學目標 1．熟練掌握向量的內積，夾角，長度，距離概念； 2．掌握 Schwarz不等式及應用； 3．理解標準正交基的概念，求法及應用，了解子空間正交 補的概念及應用； 4．理解正交變換，正交矩陣的概念、性質及關系； 5．理解對稱變換的概念，性質及其與對稱矩陣的關系。熟
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