【正文】 若伯努利型 隨機變量 ?1 的正結(jié)果發(fā)生概率為 p1, ?2 的正結(jié)果發(fā)生概率為 p2， 則 ? 正結(jié)果發(fā)生概率為： 21 ppp ??(E) 由 遵守泊松分布 的隨機變量 ?1與 伯努利型隨機變量 ?2串級而成的隨機變量 ? 仍 遵守泊松分布 。 (D) 由 兩個 伯努利型隨機變量 ?1和 ?2串級而成的隨機變量 ? 仍是 伯努利型隨機變量 。而且按順序分別稱 ?1和?2為此串級隨機變量的 第一級 和 第二級 。 設(shè)對應于試驗條件組 A定義 一個隨機變量 ?1，對應于另一試驗條件組 B定義 另一隨機變量 ?2，且二者 相互獨立 。 要注意的是相互獨立的遵守泊松分布的隨機變量之 “ 差 ” ， 不服從 泊松分布。 aXY ?如： ? ? ? ?xfayg ?? 1? ? ? ? ? ? ? ?XEaadxxfaaxdyygyYE ??????? ? ???????1? ? ? ?? ? ? ? ? ?XDadyygyEyYD ????? ????22對 多個獨立隨機變量 的函數(shù) ? ?nXXXY ,. ., 21?? Y 也是一個隨機變量 ， 其 可取值 和 概率密度函數(shù) 由 各 Xi 的 可取值 和 概率密度函數(shù) 共同確定 。 ? ?XY ?? ? ?YX ?? 由于 X取各可取值的概率就是 Y取相應可取值的概率，所以： dyygdxxf )()( ?)()( xfdydxyg ?)())(( yyf ? ??? 的得到在數(shù)學上是十分困難的。 (1). 隨機變量的函數(shù) 已知隨機變量 X， 其可取值為 x， 概率密度函數(shù)為 f(x)。 例題：為了探測 α 粒子，有兩種探測器可以選擇，一種的本底為 7計數(shù) /min,效率為 ；另一種的本底為 3計數(shù) /min，效率為 ，對于低水平測量工作，應選用哪一種探測器更好些？ 復雜隨機變量 往往可以 分解 為 由若干簡單的隨機變量 運算 、 組合 而成。對探測器總希望 nb越小越好， ε 越大越好 。 解聯(lián)立方程： ?n0? ?? ?? ?? ? ??nbsnbsbsnnnnntnnnnntbsbbss00222/1222/1????????例題：本底計數(shù)為 nb=15計數(shù) /min，測量樣品計數(shù)率為 ns=60計數(shù) /min，試求對給定的測量時間tb+ts來說凈計數(shù)率精確度最高時的最優(yōu)化比值tb/ts。 為在 規(guī)定的 總測量時間 T＝ ts+tb內(nèi)使測量結(jié)果的 誤差最小 。 可以 定數(shù)測量 、 定時測量 確定測量計數(shù) (放射源活度 A一定時 ) (B) 有本底存在時，需要合理分配樣品測量時間 ts和本底測量時間 tb。 (1) 測量時間的選擇 (A) 不考慮本底的影響； 根據(jù)： ntv n /1?nvtn21?例 1 要求 δn ?1％， n大約為 103min1，求則所需測量時間 t。 解： 例 2 設(shè)在相等的時間里測得放射源總計數(shù) 1071，本底計數(shù) 521，求凈計數(shù)及誤差。 例 3 樣品 8分鐘得計數(shù) 200個，測本底 4分鐘得計數(shù)72個。 設(shè)測量 本底 的時間為 tb，在 tb內(nèi)測得的計數(shù)為 Nb,在 ts時間內(nèi)，有 樣品 時，測的計數(shù)（其中包括本底計數(shù)）為 Ns，則 樣品 的 凈計數(shù)率 為： tNtNnnnbbssbs ????0凈計數(shù)率 的 統(tǒng)計誤差 為： tntntNtNbbssbsbsn ???? 220? δ 是 delta σ 是 sigma 測量結(jié)果寫成： tntnnnnbbssbsn ????? )(00 ?計數(shù)率單位為 min1或 s1，習慣上寫成 CPM或 CPS，計數(shù)無單位。測量結(jié)果寫成 。 解： 2. 多次重復 測量 計數(shù)和計數(shù)率 的 統(tǒng)計誤差 (1) 多次重復測量計數(shù)的統(tǒng)計誤差 若對某放射性樣品重復測量 K次 ，每次 測量時間相同 ，測得的計數(shù)為 N N2， … Nk,則觀測值的 統(tǒng)計誤差 為 ，其中 為 K次測量值的平均值，平均值的統(tǒng)計誤差 為： N?? NKNKN ????測量結(jié)果 寫成 。 若 是 相互獨立 的隨機變量，其標準偏差相應為 ，由這些隨機變量 導出的任何量 的 標準偏差 可以用下面公式求出： nxxx , 21 ?nxxx ??? , 21 ?),( 21 nxxxfy ??22222221221 nxnxxy xyxyxy???? ?????????????????????????????????? ?1. 單次測量的計數(shù)和計數(shù)率 的 統(tǒng)計誤差 若對某放射性樣品或放射源測量一次得到的 計數(shù)為 N， 測量時間為 t,且 t沒有誤差 ，則計數(shù)的統(tǒng)計誤差和相對統(tǒng)計誤差為： NNNNNN/1/ ??????δ 是 delta σ 是 sigma 計數(shù)率 n=N/t的統(tǒng)計誤差和相對統(tǒng)計誤差為 NntntntNtnnNn/1/1///2??????????上式表明 計數(shù)率的相對統(tǒng)計誤差 只與 計數(shù) N的大小有關(guān)，要 提高測量精度 ， 必須計數(shù) N足夠多 。 這種誤差是由于 放射性核衰變和射線與物質(zhì)相互作用的統(tǒng)計性 所引起的，稱為 統(tǒng)計誤差 。從理論上講，在 放射性測量 中得到的 計數(shù)值的數(shù)學期望值 應是 無限多次重復測量計數(shù)值的平均值 ，稱為 真平均值 。 解： 1） 2） 2） 22( 1 0 8 1 0 0 )21 0 0 1 01( 1 0 8 ) 0 .0 32NNW N e ??????? ? ?? ? ? ?，? ?? ?? ?106 10010 71 94 106 1 ( )1 2 1 2 7 aW N W a?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?做 變 量 置 換 ：查 表例 2設(shè)放射性衰變核數(shù)平均值為 ，求其觀測值落在 、 、 ，范圍內(nèi)的概率。 )( Z?],[ ?? ZmZm ?? 表示 置信區(qū)間 為 ?Z)(2 Z?該置信區(qū)間的 置信度 為： 例如： 當 Z＝ 1時， 置信區(qū)間 為 ?該置信區(qū)間的 置信度 為 %)1(2 ??當 Z＝ 2時， 置信區(qū)間 為 ?2該置信區(qū)間的 置信度 為 %)2(2 ??例 1時間 t內(nèi)放射源 平均 放出 100個粒子。 其特點為： 2??m 這一關(guān)系在高斯分布也是成立的。 對高斯分布 ， 隨機變量 X取值范圍為 (－?～＋ ?)， 為 連續(xù)型隨機變量 。 例子： 如果放射性原子核的個數(shù) N0非常大 ，同時測量時間 t比半衰期小的多 ， 即在 t內(nèi)可不考慮放射原子核總數(shù) N0 的改變 ， 則在 t內(nèi)放射源衰變數(shù)就可用 泊松分布 作為其概率函數(shù) 。 ? ? ? ? mDE ?? ??(B) (C)當 m較小時 其概率函數(shù) 非對稱 ，當 m較大時 其概率函數(shù) 趨于對稱 。 在二項式分布中 ， 當 N0很大 ， 且 λt 1時 ， 則有： p=1－ eλt 1這樣 ， =N0pN0。 原子核衰變服從 指數(shù)規(guī)律 ，即 teNtN ???0)(那么在 （ 0－ t） 時間內(nèi)， 發(fā)生衰變的原子核數(shù) 為： )1()()(00teNtNNtN ???????所以對于原子核衰變，其數(shù)學期望為： 方差： )1(0 teNE ????tt eeND ?? ???? )1(0也就是說原子核在 t時間內(nèi)發(fā)生衰變的概率為： 不發(fā)生衰變的概率為： teNtNp ?????? 1)(0tepq ????? 1(2) 泊松分布 泊松分布 是在 N0很大 、 概率 p很小 的條件下 ， 二項式分布在數(shù)學上的 直接簡化 ， 是二項式分布的一種極限情況 。 0NA Ap p?1?A? 0N二項式分布 的 概率函數(shù) ： 0N A k 在一組 個 獨立試驗 中， 事件 成功 次的 概率 為 ： ?? kNkkN qpCkP ??? 00? 000!! ( ) !NkkN pqk N k??? 可見，二項式分布的 概率函數(shù) 是由 雙參數(shù) N0 和 p 決定的。定義隨機變量