[工學(xué)]第七章_歐氏空間(參考版)
2025-01-22 12:09本頁面
【正文】 1U H U U H U??說明 : 。 n H39。1 UU ??定理 2. n維酉空間一個(gè)規(guī)范正交基則另一個(gè)規(guī)范 正交基的過渡矩陣是一個(gè)酉矩陣。39。 v定義 5. 設(shè) 是酉空間 的一個(gè)有限維子空間令 則 是 的子空間，稱為 的正交補(bǔ)，且 . w v},0,/{ vvw ?????? ????? ?wv w??? wwv定義 6. 設(shè) 是 n階復(fù)矩陣，如果 則稱為一個(gè) 酉矩陣。 vn?? ?1v② 中兩兩正交的個(gè)線性無關(guān)的單位向量 叫的 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。 定義 4. 的一組兩兩正交的向量組叫 的一組正交組， 的正交組中每一個(gè)向量都是單位向量，則稱該正交組 為一個(gè)規(guī)范正交組。 v ???? ,??? 則v?說明： ① 當(dāng) 00 ?? ?? 時(shí)當(dāng) 0,0 ?? ?? 時(shí)② 當(dāng) 的單位向量為稱時(shí) v?? ,1?③ ??? aavca ????? 則,定理 1. 設(shè) 是酉空間 , 當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，等式 成立 .即：柯西 — 施瓦茲不等式在酉空間中也成立。, ???? aa ?4） 是非負(fù)實(shí)數(shù) ,并且當(dāng) 時(shí)， ， 是 V中任意向量 , α是 C中任意數(shù)，那么 V叫做對于這個(gè) 內(nèi)積來說是一個(gè)酉空間。,。 A At?? ?1i?10inxIAx?????????????（ ）iV?iV?kii ?? ?,1Uti tktikikk ?),。解方程組 : 得基礎(chǔ) 解系 .這就是 的一組基 .由這組基施行正交 化 ,得到 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 。 1?? UU .1 AUUB ??? ?.~ BAATT 1?TTT TTAU 1）求出 的特征根 是 的不同特征根 。 是對角形式 ,但這樣求出的 ,一般說來還不是正交矩陣。 AUAUU 39。即設(shè) 是一 個(gè) n階實(shí)對稱矩陣。即對稱變換 可以使 有一個(gè)由 的特征向量組成的正交基。使得 關(guān)于這個(gè)基的矩陣 是對角形式。 ?VV說明： ① 歐氏空間 的對稱變換可以對角化。 說明： 一個(gè)線性變換關(guān)于不同特征根的特征 向量是線性無關(guān)的。 說明： 由于我們是在實(shí)數(shù)域上引入向量的“內(nèi)積”概念，即歐氏空間都是在實(shí)數(shù)域上進(jìn)行討論的，故對稱變換 的特征多項(xiàng)式的根都是 的特征根。 說明： 對稱變換與對稱矩陣是 11對應(yīng)的。 ? V( ) , , ( )? ? ? ? ? ?? ?? ? ?則稱 是一個(gè)對稱變換。 39。 V? 關(guān)于 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣 是正交矩陣。 定理 1. 設(shè) 是歐氏空間的一個(gè)線性變換。都有： V ?V??|||)(| ??? ?說明 ：保持向量長度不變的線性變換叫正交 變換。 正交變換 定義 的一個(gè)線性變換 叫做一個(gè)正交變換。 兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu) ? 維數(shù)相等。VV到 的同構(gòu)映射，因而同構(gòu)的 歐氏空間有相同維數(shù)。: VVf ?（ ii）對 , V???? 都有 ????? )(),(, ???? ff說明： ① （ ii）稱為保內(nèi)
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