【正文】 o ssi n si nc o s 2 ?????? ?????? ????? k??? k??I 對于線性變換 A 的任一個特征值 ，全部適合條件 的向量 所成的集合，也就是 A 的屬于 的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V的一個子空間 ,稱為 A 的一個 特征子空間 ,記為 . 顯然 的維數就是屬于 的線性無關的特征向量的最大個數。用集合記號可寫為 0? ? ??A? 0?0?V0?V0?0 { | , } .VV? ? ? ? ? ?? ? ?0A0?矩陣的特征多項式的系數 ，在 nnnnnnaaaaaaaaaAE??????????????????????212222111211 的展開式中， 有一項是主對角線上元素的連乘積 ).())(( 2211 nnaaa ??? ??? ?特征多項式中含 的 n次與 n1次的項 只能在主對角線上元素的連乘積中出現， 它們是 ?.)( 12211 ????? nnnn aaa ?? ?在特征多項式中令 ,即得常數項 0??.||)1(|| AA n??? 因此，如果只寫出特征多項式的前兩項與常數項，就有 由根與系數的關系可知， A的全體特征值的和為 (稱為 A的跡 )。而 A的全體特征值的積為 |A|. )5(.||)1()(|| 12211AaaaAEnnnnn????????? ??? ???nnaaa ??? ?2211 隨著基的不同，線性變換的矩陣一般是不同的。但是這些矩陣是相似的，對于相似矩陣我們有 相似的矩陣有相同的特征多項式 證明 設 A～ B，即有可逆矩陣 X，使 B=X1AX。 于是 定理 6正好說明，線性變換的矩陣的特征多項式與基的選擇無關，它是直接被線性變換決定的。因此，以后就可以說線性變換的特征多項式了。 相似矩陣有相同的行列式 。因此，以后就可以說線性變換的行列式了。 .|||||||||)(|||||111AEXAEXXAEXAXXEBE????????????????? 應該指出，上述結論的逆是不對的，特征多項式相同的矩陣不一定是相似的。例如 它們的特征多項式都是 ，但 A和 B不相似，因為和 A相似的矩陣只能是 A本身。 最后，我們指出特征多項式的一個重要性質。 .10 11,10 01 ?????????????? BA2)1( ?? 哈密爾頓 凱萊 (HamiltonCaylay)定理 設 A是數域 F上一個 n n矩陣， 是 A的特征多項式，則 ||)( AEf ?? ??11 1 2 2( ) ( )( 1 ) | | 0nnnnnf a a aAE? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? 證明 設 是 的伴隨矩陣，由行列式的性質，有 因為矩陣 的元素是 的各個代數余子式，都是 的多項式，其次數不超過 n1。因此由矩陣的運算性質， 可以寫成 其中 都是 n n數字矩陣。 )(?B AE ??.)(||))(( EfEAEAEB ???? ????)(?B || AE ???)(?B110 , ?nBBB ?.)( 11201 ??? ???? nnn BBBB ????)()())(())((122011011201ABBABBBAEBBBAEBnnnnnn???????????????????????? ?)7(.)( 121 ABABB nnn ??? ???? ??再設 則 而 ,)( 111 nnnn aaaf ????? ?? ???? ?)6(.)( 11 EaEaEEf nnn ???? ? ???? 比較 (6)和 (7)，得 以 依次從右邊乘 (8) 的第一式，第二式， ，第 n式，第 n+1式，得 ??????????????????????.,)8(,11212121010EaABEaABBEaABBEaABBEBnnnnn????????EAAA nn , 1 ??? 把 (9)的 n+1 個式子一起加起來，左邊變成零，右邊即為 f(A).故 f(A)=。 因為線性變換和矩陣的對應是保持運算的，所以由這定理得 ????????????????????????????????????.,)9(,1112212222112211110110EaABAaEAaABABAaEAaABABAaEAaABABAEAABnnnnnnnnnnnnnnnnn???????????????推論 設 A 是有限維空間 V的線性變換， 是 A 的特征多項式，那么 ( ) 0f ?A)(?fBACK 線性變換可對角化 對角矩陣可以認為是矩陣中最簡單的一種。現在我們來考察，究竟哪一些線性變換的矩陣在一組適當的基下可以是對角矩陣。 定理 11 設 A是 n維線性空間 V的一個線性變換， A 的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣的充分必要條件是， A 有 n個線性無關的特征向量。 證明 設 A 在基 下具有對角矩陣 n??? , 21 ? 這就是說， 因此， 就是 A 的 n個線性無關的特征向量。 反過來 ，如果 A 有 n個線性無關的特征向量 那么就取 為基，顯然，在這組基下 A 的矩陣是對角矩陣。 .21??????????????n????, 1 , 2 , , .i i i in? ? ???An??? , 21 ?n??? , 21 ? n??? , 21 ?結論 1 屬于不同特征值的特征向量是線性無關的 證明 對特征值的個數作數學歸納法。由于特征向量是不為零的 . 所以單個的特征向量必然線性無關 . 現在設屬于 k個不同特征值的特征向量線性無關，我們證明屬于 k+1個不同特征值 的特征向量 也線性無關 . 假設有關系式 成立 . 等式兩端乘以 ，得 121 , ?k??? ?121 , ?k??? ?)1(0112211 ????? ?? kkkk aaaa ???? ?1?k?)3(.0111222111 ????? ??? kkkkkk aaaa ???????? ?(1)式兩端同時施行變換 A，即有 )2(.01111212111 ????? ?????? kkkkkkkk aaaa ???????? ?(3)減去 (2)得到 .0)()( 11111 ????? ?? kkkkk aa ?????? ? 根據歸納法假設， 線性無關，于是 但 所以 這時 (1)式 變成 . 又因為 , 所以只有 這就證明了 線性無關 .根據歸納法原理，定理得證 . k??? , 21 ?.,2,1,0)( 1 kia kii ???? ???),(01 kiki ??? ??? .,2,1,0 kia i ???011 ??? kka ? 01 ??k? .01 ??ka121 , ?k??? ?從上面這兩個定理就得到 結論 2 如果在 n維線性空間 V中， 線性變換 A 的特征多項式在數域 F中 有 n個不同的根，即 A 有 n個不同的特征值， 那么 A 在某組基下的矩陣是對角形的 . 因為在復數域上的線性空間中， 如果線性變換 A 的特征多項式沒有重根， 那么 A 在某組基下的矩陣是對角形的 . 在一個線性變換沒有 n個不同的特征值 的情形，要判別這個線性變換的矩陣能不能 成為對角形，問題就要復雜些，為了利用定理 7，我們把定理 8推廣為 結論 3 如果 是線性變換 A 的不同的特 征值，而 是屬于特征值 的線性無關的 特征向量， ，那么向量組 也線性無關 . k??? , 21 ?iiri ?? ,1 ? i?ki ,2,1 ?? , 1111 ?? r??kkrk ?? ,1 ?根據這個定理，對于一個線性變換， 求出屬于每個特征值的線性無關的特征向量， 把它們合在一起還是線性無關的 . 如果它們的個數等于空間的維數， 那么這個線性變換在一組合適的基下的 矩陣是對角矩陣； 如果它們的個數少于空間的維數， 那么這個線性變換在任何一組基下的矩陣 都不能是對角形的 . 換句話說， 設 A 全部不同的特征值是 ，于是 A在某一組基下的矩陣成對角形的充分必要條件是 A的特征子空間 的維數之和等于空間的維數。 應該看到，當線性變換 A 在一組基下的矩陣A是對角形時： r??? , 21 ?ri VV ?? ,?.21???????????????nA????A的特征多項式就是 因此，如果線性變換 A 在一組基下的矩陣是對角形，那么主對角線上的元素除排列次序外是確定的，它們正是 A 的特征多項式全部的根 (重根按重數計算 ). ).())(( 21 nAE ??????? ????? ?從而一個線性變換的矩陣 能不能在某一組基下是對角形的問題 就相當于一個矩陣是不是相似于一個 對角矩陣的問題 . 例 1 我們已經算出線性變換 A 的特征值是 1(二重 )與 5，而對應的特征向量是 由此可見， A 在基 下的矩陣為對角矩陣 .,3213322311?????????????????321 , ??? 而由 到 的過渡矩陣是 于是， 321 , ??? 321 , ????????????????111110101X.1 BAXX ??.500010001?????????????BBBCK 167。 6 不變子空間