高等代數(shù)--第九章歐幾里得空間-資料下載頁
2025-01-20 13:15本頁面
【正文】 ,都有 定理 8 設 A 是歐氏空間 V的一個線性變換 ,于是下面四個命題是相互等價的 : V??? ,( , ) ( , )? ? ? ??AA1):A是正交變換 。 2):A保持向量的長度不變 ,即對于 3):如果 是標準正交基 ,那么 也是標準正交基 。 4):A 在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩 陣 . 證明 :首先 ,證明 1)與 2)等價 . 如果 A是正交變換 ,那么 n??? , ,21 ?1 2 , n? ? ?A A A,V? ? ???A( , ) ( , )? ? ? ??AA兩邊開方即得 反過來 ,如果 A 保持向量的長度不變 ,那么 最后的等式展開即得 ???A( , ) ( , )? ? ? ??AA( , ) ( , )? ? ? ??AA( ( ) , ( ) ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?AA( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) 2 ( , ) ( , )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?A A A A A A再利用前兩個等式 ,就有 這就是說 ,A 是正交變換 . 證 1)與 3)等價 . 設 一組標準正交基 ,即 如果 A是正交變換 ,那么 ( , ) ( , )? ? ? ??AAn??? , ,21 ?),... ,2,1,(,0,1),( njijijiji ???????當當??1 , ,( , ) ( , 1 , 2 , . . . , )0,ijiji j nij?????????當當AA這就是說 , 是標準正交基 .反過來 ,如果 是標準正交基 ,那么由 與 1 2 , n? ? ?A A Annnnyyyxxx??????????????????221122111 1 2 21 1 2 2nnnnx x xy y y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A A A AA A A A1 2 , n? ? ?A A A即得 因而 A正交變換 . 證 3)與 4)等價 . 設 A在標準正交基 下的矩陣為A,即 如果 是標準正交基 ,那么 A是 1 1 2 2( , )( , )nnx y x y x y????? ? ? ?? AAn??? , ,21 ?1 2 , 1 2( , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ??A A A1 2 , n? ? ?A A A 由標準正交基 到 的過度矩陣 ,因而是正交矩陣 .反過來 ,如果 A是正交矩陣 ,那么 就是標準正交基 . 這樣 ,我們就證明了 1),2),3),4)的等價性 . 因為正交矩陣是可逆的 ,所以正交變換是可逆的 . 正交變換實際上是一個歐氏空間到它自身的同構映射。 n??? , ,21 ? 1 2 , n? ? ?A A A1 2 , n? ? ?A A A 如果 A是正交矩陣 ,那么由 可以知道 因此 ,正交變換的行列式等于 +1或者 1,行列式等于 +1的正交變換通常稱為 旋轉 ,或者稱為 第一類的 。行列式等于 1的正交變換稱為 .第二類的 . EAA ??112 ??? AA 或者 例如 ,在歐氏空間中任取一組標準正交基 ,定義線性變換 A 為 : 那么 ,A 就是一個第二類的正交變換 . n??? , ,21 ?11 , , 1 , 2 , .. ., .ii in? ? ? ?? ? ? ?AABACK 對任意 ,有 或 nR??? ,( , ) ( , )? ? ? ??AA()TT? ? ? ??AA167。 4 對稱變換 滿足上式的線性變換成為對稱變換 對應于實對稱矩陣 A, 在 n維歐氏空間 上定義一個線性變換 A 如下 : 顯然 A 在 標準正交基 nR1122nnxxxxAxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A)2(100,010,00121?????????????????????????????????????????????????n???下的矩陣就是 A. 證明 ：只要證明后一等式就可以了。實際上 ( ) ( ) ( )T T T T TA A A A? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 結論： 設 A 是對稱變換， V1是 A子空間，則 也是 A子空間。 證明： 設 ，要證明 ，即 任取 ，都有 。因為 ，故 因此 ?1V??1V? 1V???A1V? ?A1V?? 1V? ?A1V?? ( , ) 0?? ?A( , ) ( , ) 0? ? ? ???
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