高等代數(shù)--第九章歐幾里得空間(編輯修改稿)
2025-02-16 13:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 取 有 ? m??? , 21 ?.22111 mmm kkk ????? ?????? ?mkkk , 21 ? i? 1?m?).,2,1(),(),(),( 1 mik iiiiim ????? ??????).,2,1(),( ),( mikiiii ??? ????).,2,1(0),( 1 mimi ??????由 的選擇可知， 。因此 是一正交向量組，根據(jù)歸納法假定， 可以擴充成一正交基。于是定理得證。 定理的證明實際上也就給出了一個具體的擴充正交向量組的方法。 ? 01 ??m? 121 , ?mm ???? ?, 21 m??? ?1?m? 在求歐氏空間的正交基時，常常是已經(jīng)有了空間的一組基，對于這種情形，有下面的結(jié)果： 定理 4 對于 n維歐氏空間中任意一組基 都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，使 證明 設(shè) 是一組基，我們來逐個地求出向量。 首先，將向量組正交化： 取 n??? , 21 ?, 21 ???n? n??? , 21 ?.,2,1),(),( 2121 niLL ii ??? ?? ??????n??? , 21 ?11 ?? ?1111,222 ),()(??????? ?? ??.),(),(111??????niniiinnn ??????? 單位化 niiii ,2,1||??????.),(),(1111 ????? ??miiiiimmm ??????? 定理 4中把一組線性無關(guān)的向量變成一組單位正交的向量組的方法在一些書和文獻中稱做施密特 (Schmidt)正交化過程。 例 把 變成單位正交的向量組。 先把它們正交化，得 )1,1,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),0,0,1,1(4321??????????? 再 單位化，得 ).1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(),1,31,31,31(),(),(),(),(),0,1,21,21(),(),(),0,0,1,1(33334222241111444222231111333111122211????????????????????????????????????????????????????????),0,0,21,21(1 ?? 設(shè) 與 是歐氏空間 V中的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ,它們之間的過渡矩陣是 ， ).21,21,21,21(),123,121,121,121(),0,62,61,61(432??????????n??? , 21 ? n??? , 21 ?)( ijaA ?即 因為 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以 矩陣 A的各列就是 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 下的坐標(biāo)。按公式 (3), (4)式可以表示為 .),(),(2122221112112121???????????????nnnnnnnnaaaaaaaaa????????? ??????n??? , 21 ?)4(.,0,1),(??????jijiji 當(dāng)當(dāng)??n??? , 21 ? , 21 ??n?,? (5)式相當(dāng)于一個矩陣的等式 或者 )5(.,0,12211?????????jijiaaaaaa njnijiji當(dāng)當(dāng)?39。 , ( 6)A A E?39。.1 AA ??在第四章，我們學(xué)過正交矩陣： 定義 n級實數(shù)矩陣 A稱為正交矩陣 ,如果 因此，以上分析表明， 由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣 ；反過來，如果第一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交的，同時過渡矩陣是正交矩陣，那么第二組基一定也是標(biāo)準(zhǔn)正交的。 .TA A E? 最后我們指出，根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)，由 即得 寫出來就是 (5)式是矩陣列與列之間的關(guān)系， (7)式是行與行之間的關(guān)系，這兩組關(guān)系是等價的。 正交矩陣的行向量組和列向量組都是正交向量組 。 TA A E?.TA A E?)7(.,0,12211 ?????????jijiaaaaaajninjiji 當(dāng)當(dāng)?BACK 歐式空間 同構(gòu) 定義 8:實數(shù)域 R上歐氏空間 V與 V′稱為同構(gòu)的 ,如果由 V到 V′有一個 11的映上的映射 ,適合 這里 , 映射 稱為 V到 V′的同構(gòu)映射 . ?, V k R?? ??( 1 ) ( ) ( ) ( )( 2) ( ) ( )( 3 ) ( ( ) , ( ) ) ( , )kk? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1