【正文】 9． 4. 重積分的應(yīng)用 一、 曲面的 面積 曲面 S ),( yxfz? 曲面面積 ?dyxfyxfAD yx?? ??? ),(),(122 例 1 求半徑為 a 的球的表面積。在每個 iv? 上任取一點 ),( iii ??? ,作乘積),2,1(),( nivf iiii ?????? 并作和 iiiini vf ??? ),(1 ???.如果當(dāng)各個小閉區(qū)域直徑中的最大值 ? 趨于零時這和的極限為函數(shù) ),( zyxf 在閉區(qū)域 ? 上的三重積分。 例 3 計算 ，其中 D是由中心在原點、半徑為 a的圓周所圍成的閉區(qū)域。 在極坐標(biāo)系中，面積元素 ds = rdrdθ ，上式成為 。這時，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計算二重積分 。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域 D的類型來確定的。 如果積分區(qū)域 D既不是 X型的，也不是 Y型的，我們可以把 D分成幾個部分，使每個部分是 X型區(qū)域或是 Y型區(qū)域。 因此，等式（ 1） 也寫成 ，（ 1’ ） 在上述討論中，我們假定 f（ x， y） ? 0 ，但實際上公式（ 1）的成立并不受此條件限制。 這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式 。 我們應(yīng)用 “ 平行截面面積為已知的立體的體積 ” 的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。 特殊地，由于 | f（ x， y） | ? f （ x， y） ? | f （ x， y） |， 又有不等式 。 此性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性。 性質(zhì) 2 函數(shù)的和 （或差）的二重積分等于各個函數(shù)的二重積分的和（或差）。 D yk。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 l 趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) f（ x，y）在閉區(qū)域 D上的二重積分，記作 ，即 。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網(wǎng)把 D分成 n個小閉區(qū)域 D s 1 ， D s 2， ? ， D s n，在每個 D s i上任取一點（ x i， h i），則 f（ x i， h i） D s i（ i = 1， 2， ? ， n）可看作以 f（ x i， h i）為高而底為 D s i的平頂柱體的體積 [插圖 2]。 曲頂柱體體積 再設(shè)有一立體， 它的底是 xOy面上的閉區(qū)域 D，它的側(cè)面是以 D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于 z軸的柱面，它的頂是曲面 z = f（ x， y），這里 f（ x， y） ? 0 且在 D上連續(xù)。 由于面密度 ρ （ x， y）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（ M =ρ S）來計算。 三重積分的概念及計算方法。 至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定。 例 3有一塊寬為 24 的長方形鐵片，把它兩邊寬為 x 的邊緣分別向上折成一個水槽，問 x和 ? 多大時使水槽的橫截面面積 S 最大。 第二步 對于每一個駐點 (x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、 B和 C。 二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。 例 1 求球面 14222 ??? zyx 在點 )3,2,1(0P 處的切平面方程與法線方程。這個平面稱為曲面 Σ 在 點 M的切平面。 （ t0）（ zz0） = 0。 （ t0） } 就是曲線 Г 在點 M處的一個 切向量 。 曲線在點 M處的切線方程 ? ?)()( 0 00 00 0 tzztyytxx ??? ???????? 切線的方向向量稱為曲線的切向量。 隱函數(shù)存在定理 2 設(shè)函數(shù) F(x,y,z)在點 P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0 ，則方程 F(x,y,z) = 0在點 (x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能 唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z = f(x,y)，它滿足條件 z0 = f(x0,y0)，并有 。 定理 1 如果函數(shù) u=φ(t) 及 v=ψ （ t）都在點 t可導(dǎo)，函數(shù) z=f(u,v)在對應(yīng)點 (u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z=f[φ(t), ψ(t)] 在點 t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形。 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的概念與計算 定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點 (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y固定在 y0而 x在 x0處有增量 Δx 時，相應(yīng)的函數(shù)有增量 f(x0+Δx,y 0)f(x0,y0), 如果 存在，則稱此極限為函數(shù) z=f(x,y) 在點 (x0,y0)處對 x的偏導(dǎo)數(shù)，記作 或 fx（ x0， y0）。 如果 則稱函數(shù) f(x,y)在點 P0(x0,y0)連續(xù)。 三點式方程： 已知平面過空間三點 ， ， ，則平面方程為 例 2 求過 x 軸且垂直與平面 03245 ???? zyx 的平面方程 三、 兩平面的夾角 兩平面的夾角 2121cos nn nn ???? 點到平面的距離 ? ?000 , zyxP o 平面 0: ???? DCzByAxs 222000 CBA DCzByAxd ?? ???? 7． 6空間直線及其方程 一、 空間直線的一般方程 ??? ???????? 0022221111 DzCyBxA DzCyBxA 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 對稱式方程 l zzn yym xx 000 ????? 參數(shù)式方程 ),(000????????????????tltzzntyymtxx 例 1 設(shè)直線 l 的方向向量 }2,1,0{ ,且過點 )3,1,0( ,求 l 的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 將直線的一般方程 ??? ???? ???? 0432 01zyx zyx 化為對稱方程與參數(shù)方程 三、兩直線的夾角 兩直線的夾角 ba ba ????cos 例 3 求直線 1 341 11 ????? zyxL和 1222:2 ????? zyxL的夾角。方程組（ 1）叫做 空間曲線 C的一般方程。 5 橢圓錐面 22222 zbyax ?? 7 .4 空間曲線及其方程 一、 空間曲線一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線。 2 拋物面 方程 （ p 和 q 同號）所表示的曲面叫做拋物面。為了了解三元方程 F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形狀，我們通常采用截痕法。 二次曲面示例。第 七 章：空間