【正文】 結(jié)論: 219。165。時(shí)的極限, 記為或f(x)174。0時(shí)的極限不存在. 這是因?yàn)? , , . 2．自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)X, 使得當(dāng)x滿足不等式|x|X時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)A|e,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x174。e 0, $d 0, x: x0xx0+d , 有|f(x)A|e . 219。x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限之間的關(guān)系怎樣? 提示: 左極限的e d 定義： 219。x0時(shí)的右極限, 記為或f(+)=A . 討論: d定義如何敘述? 2. 當(dāng)x174。yy=x111y=x+1xO 若當(dāng)x174。x0 時(shí), f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A, 則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x174。e0, $d0, 當(dāng)0|xx0|d時(shí), |f(x)A|e . 函數(shù)極限的幾何意義: 例1. 證明. 證明: 這里|f(x)A|=|cc|=0, 因?yàn)閑0, 可任取d0 , 當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有|f(x)A|=|cc|=0e ,所以. 例2. 證明. 分析: |f(x)A|=|xx0|. 因此e 0, 要使|f(x)A|e , 只要|xx0|e . 證明: 因?yàn)閑 0, $d =e , 當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有|f(x)A|=|xx0|e , 所以. 例3. 證明. 分析: |f(x)A|=|(2x1)1|=2|x1|. e 0, 要使|f(x)A|e , 只要. 證明: 因?yàn)閑 0, $d=e /2, 當(dāng)0|x1|d 時(shí), 有|f(x)A|=|(2x1)1|=2|x1|e , 所以. 例4. 證明. 分析: 注意函數(shù)在x=1是沒(méi)有定義的, 但這與函數(shù)在該點(diǎn)是否有極限并無(wú)關(guān)系. 當(dāng)x185。A(當(dāng)x174。x0時(shí), f(x)無(wú)限接近于A. 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)x滿足不等式0|xx0|d 時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 |f(x)A|e , 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x 174。). 分析: 在x174。. 1．自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限通俗定義: 如果當(dāng)x無(wú)限接近于x0 , 函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于常數(shù)A, 則稱當(dāng)x趨于x0 時(shí), f(x)以A為極限. 記作f(x)=A或f(x)174。, x大于零且絕對(duì)值|x|無(wú)限增大: x174。, x小于零且絕對(duì)值|x|無(wú)限增大: x174。x0+, x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大: x174。x0, x從x0的左側(cè)(即小于x0)無(wú)限接近x0 : x174。). 2. 如果數(shù)列{xn}收斂, 那么數(shù)列{xn}一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無(wú)界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4．如何判斷數(shù)列 1, 1, 1, 1, , (1)N+1, 是發(fā)散的？ 167。a (n 174。N+, 當(dāng)nN時(shí), 有|xna|e .取K=N, 則當(dāng)kK時(shí), nk179。0, 按定理3有x n0, 這引起矛盾. 所以必有a 179。0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a0, 則由定理3知, $N 2206。0). 證明 就xn179。0), 且數(shù)列{xn}收斂于a, 那么a179。N+, 當(dāng)nN時(shí), 有,從而. 推論 如果數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn179。| xna|+|a|1+|a|.取M=max{|x 1|, |x 2|, , |x N |, 1+| a |}, 那么數(shù)列{xn}中的一切xn都滿足不等式|xn|163。M,則稱數(shù)列{xn}是有界的。N+, 當(dāng)nN時(shí), 有|xn0|=,所以. 例3. 設(shè)|q |1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, , qn1, 的極限是0. 分析: 對(duì)于任意給定的e 0, 要使 |x n0|=| qn10|=|q| n1e ,只要nlog|q|e +1就可以了, 故可取N=[log|q|e +1]。N+, 當(dāng)nN時(shí), 有|xna|e . 數(shù)列極限的幾何解釋: 例題: 例1. 證明. 分析: |xn1|=.對(duì)于e 0, 要使|xn1|e , 只要, 即. 證明: 因?yàn)閑 0, $206。).如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. 219。a (n174。 {}: 2, , , , , . 它們的一般項(xiàng)依次為 , 2n, , (1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1, x2, x3, , xn , . 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義：對(duì)于數(shù)列{xn}, 如果當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列的一般項(xiàng)xn無(wú)限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列{xn}的極限, 或稱數(shù)列{xn}收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. 例如 , 。 {}: , , , , , 。時(shí)的極限. 數(shù)列的概念:如果按照某一法則, 使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, , xn , 這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為{xn}, 其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 數(shù)列的例子: {}: , , , , 。, 讀作n 趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加, 在這個(gè)過(guò)程中, 內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓, 同時(shí)An 也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值, 這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, , An, 當(dāng)n 174。1. 2 數(shù)列的極限 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正82n1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, , An, 設(shè)想n 無(wú)限增大（記為n174。, +165。, +165。 反雙曲余弦: y=arch x。 ch2x=ch2x+sh2x . 下面證明 sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y: . 反雙曲函數(shù): 雙曲函數(shù)y=sh x, y=ch x(x179。sh xsh y. ch2xsh2x=1。 ch(x177。 雙曲正切: . 雙曲函數(shù)的性質(zhì): sh(x+y)=sh xch y177。 反三角函數(shù): y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數(shù). 雙曲函數(shù): 雙曲正弦: 。1, 特別當(dāng)a=e時(shí), 記為y=ln x)。1)。R是常數(shù))。 商: , x206。 積f g : (f g)(x)=f(x)g(x), x206。g(x), x206。g : (f 177。198。R, u=2+x2均不在y=arcsin u的定義域[1, 1]內(nèi). 多個(gè)函數(shù)的復(fù)合: 4. 函數(shù)的運(yùn)算 設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域依次為D 1, D 2, D=D 1199。D。D f. 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域?yàn)閇1, 1], 在上有定義, 且g(D)204。 D 1, 則由下式確定的函數(shù) y=f[g(x)], x206。f(D)是單射, 于是f的反函數(shù)f 1必定存在, 而且容易證明f 1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù). 相對(duì)于反函數(shù)y=f 1(x)來(lái)說(shuō), 原來(lái)的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù). 把函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f 1(x)的圖形畫(huà)在同一坐標(biāo)平面上, 這兩個(gè)圖形關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的. 這是因?yàn)槿绻鸓(a, b)是y=f(x)圖形上的點(diǎn), 則有b=f(a). 按反函數(shù)的定義, 有a=f 1(b), 故Q(b, a)是y=f 1(x)圖形上的點(diǎn)。D的反函數(shù)記成y=f 1(x), x206。f(D), 有唯一的x206。f(D)是單射, 則它存在逆映射f 1: f(D)174。l)206。D, 有f(x) = f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱, 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). (4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)正數(shù)l , 使得對(duì)于任一x206。D). 如果對(duì)于任一x206。）上不是單調(diào)的. (3)函數(shù)的奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若x206。)上是單調(diào)減少的, 在（165。D. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1x2時(shí), 恒有 f(x1) f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的. 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2, 當(dāng)x1x2時(shí), 恒有 f(x1) f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 函數(shù)單調(diào)性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(165。)上是有界的: |sin x|163。X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(165。M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界。 K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界. 圖形特點(diǎn)是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對(duì)任一x206。K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界. 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對(duì)任一x206。D. 如果存在數(shù)K1, 使對(duì)任一x206。 。1時(shí), 。). 當(dāng)0163。(0, +165。), 值域?yàn)镽 f =Z . , , [p]=3, [1]=1, [3. 5]=4. 分段函數(shù): 在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù). 例。), 值域?yàn)镽 f ={1, 0, 1}. 例 設(shè)x為任上實(shí)數(shù). 不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分, 記作[ x ]. 函數(shù) y = [ x ]稱為取整函數(shù). 其定義域?yàn)镈=(165。). 例. 函數(shù). 稱為符號(hào)函數(shù). 其定義域?yàn)镈=(165。, +165。D}稱為函數(shù)y=f(x), x206。0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y163。0”作為對(duì)應(yīng)法則, 就可得到一個(gè)單值分支。 當(dāng)x取(r, r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí), 對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值. 所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù). 對(duì)于多值函數(shù), 往往只要附加一些條件, 就可以將它化為單值函數(shù), 這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2給出的對(duì)應(yīng)法則中, 附加“y179。D, 總有確定的y值與之對(duì)應(yīng), 但這個(gè)y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù). 例如, 設(shè)變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程x2+y2=r2 給出. 顯然, 對(duì)每個(gè)x206。]). 單值函數(shù)與多值函數(shù): 在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)x206。, 2]200。2. 所以函數(shù)的定義域?yàn)镈={x | | x |179。0, 且x2 4179。D”或“y=f(x), x206。R為定義在D上的函數(shù), 通常簡(jiǎn)記為 y=f(x), x206。R, 有 . 三、函數(shù) 1. 函數(shù)概念 定義 設(shè)數(shù)集D204。[1, 1], . 則映射g和f構(gòu)成復(fù)映射f o g: R174。R, g(x)=sin x, 映射f : [1, 1]174。D f . 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合映射. 由此可以知道,