【正文】 設(shè)曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分為 . 例1 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2163。 (3)設(shè)在曲面S上f(x, y, z)163。0時(shí), 極限總存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對(duì)面積的曲面積分或第一類(lèi)曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對(duì)面積的曲面積分的存在性: 我們指出當(dāng)f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時(shí)對(duì)面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì)量M可表示為r(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對(duì)面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對(duì)面積的曲面積分之和. 例如設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì): (1)設(shè)c c 2為常數(shù), 則 。 求質(zhì)量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點(diǎn))。0, 167。G, 使, 不妨設(shè)h0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個(gè)d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內(nèi)有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在G內(nèi). 應(yīng)注意的問(wèn)題: 定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點(diǎn)稱(chēng)為奇點(diǎn). 例5 計(jì)算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因?yàn)樵谡麄€(gè)xOy面內(nèi)都成立, 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), 積分與路徑無(wú)關(guān). . 討論: 設(shè)L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较? 問(wèn)是否一定成立？提示: 這里和在點(diǎn)(0, 0)不連續(xù). 因?yàn)楫?dāng)x2+y2185。219。0時(shí), 有. 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 曲線積分與路徑無(wú)關(guān): 設(shè)G是一個(gè)開(kāi)區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L L 2, 等式 恒成立, 就說(shuō)曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān), 否則說(shuō)與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān), L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線, 則有 , 因?yàn)? 219。D時(shí), 由格林公式得 . 當(dāng)(0, 0)206。 當(dāng)(0, 0)206。0時(shí), 有. 記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈. 當(dāng)(0, 0)207。d}. 類(lèi)似地可證 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上兩式同時(shí)成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來(lái)說(shuō)都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng), 取P=y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設(shè)D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“177。y2(y), c163。b}. 因?yàn)檫B續(xù), 所以由二重積分的計(jì)算法有 . 另一方面, 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有 . 因此 . 設(shè)D={(x, y)|y1(y)163。j2(x), a163。 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱(chēng)D為平面單連通區(qū)域, 否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域. 對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí), D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡(jiǎn)要證明: 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明. 設(shè)D={(x, y)|j1(x)163。 (3)從O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折線OAB . 解 (1)L: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)L: x=y2, y從0變到1. 所以 . (3)OA: y=0, x從0變到1。 (2)從點(diǎn)A(a, 0)沿x軸到點(diǎn)B(a, 0)的直線段. 解 (1)L 的參數(shù)方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)L的方程為y=0, x從a變到a. 因此 . 例3 計(jì)算. (1)拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。(t)}, 所以,從而 . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 下限a對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn), 上限b 對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn), a不一定小于b . 討論: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計(jì)算? 提示: , 其中a對(duì)應(yīng)于G的起點(diǎn), b對(duì)應(yīng)于G的終點(diǎn). 例題: , 其中L為拋物線y2=x上從點(diǎn)A(1, 1)到點(diǎn)B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0。b. 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{j162。t163。 (xi, h)為L(zhǎng)i上任意一點(diǎn), l為各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 如果極限總存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即. 設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線, {cost, sint}是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱(chēng)為函數(shù)P(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 后者稱(chēng)為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類(lèi)曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, {cosa, cosb, cosg}是曲線在點(diǎn)(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫(xiě)形式: 。 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 提示: 用Dsi={Dxi,Dyi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個(gè)有向小弧段L1, L2, , Ln。 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi 。10. 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點(diǎn)A=A0, A1, A2, , An1, An=B把L分成n個(gè)小弧段, 設(shè)Ak=(xk , yk), 有向線段的長(zhǎng)