【正文】 的曲線積分也叫第二類曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, {cosa, cosb, cosg}是曲線在點(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式: 。 . 對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì): (1) 如果把L分成L1和L2, 則 . (2) 設(shè)L是有向曲線弧, L是與L方向相反的有向曲線弧, 則 . 兩類曲線積分之間的關(guān)系: 設(shè){costi, sinti}為與Dsi同向的單位向量, 我們注意到{Dxi, Dyi}=Dsi, 所以Dxi=costiDsi, Dyi=sintiDsi, , . 即 , 或 . 其中A={P, Q}, t={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=tds={dx, dy}. 類似地有 , 或 . 其中A={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }, A t為向量A在向量t上的投影. 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算: 定理: 設(shè)P(x, y)、Q(x, y)是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時, 點M(x, y)從L的起點A沿L運動到終點B, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定義在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a163。t163。b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡要證明: 不妨設(shè)a163。b. 對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為{j162。(t), y162。(t)}, 所以,從而 . 應(yīng)注意的問題: 下限a對應(yīng)于L的起點, 上限b 對應(yīng)于L的終點, a不一定小于b . 討論: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計算? 提示: , 其中a對應(yīng)于G的起點, b對應(yīng)于G的終點. 例題: , 其中L為拋物線y2=x上從點A(1, 1)到點B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0。 OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 第二種方法: 以y為積分變量. L的方程為x=y2, y從1變到1. 因此 . 例2. 計算. (1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 。 (2)從點A(a, 0)沿x軸到點B(a, 0)的直線段. 解 (1)L 的參數(shù)方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)L的方程為y=0, x從a變到a. 因此 . 例3 計算. (1)拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。 (2)拋物線x=y2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。 (3)從O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折線OAB . 解 (1)L: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)L: x=y2, y從0變到1. 所以 . (3)OA: y=0, x從0變到1。 AB: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計算, 其中G是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個質(zhì)點在M(x, y)處受到力F的作用, F的大小與M到原點O的距離成正比, F的方向恒指向原點. 此質(zhì)點由點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比, 方向恒指向原點. 求力F所作的功W. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , , 其中k0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F={P, Q}, T={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=Tds={dx, dy}. 類似地有 . 其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }. 167。 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 對平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時, D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡要證明: 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進行證明. 設(shè)D={(x, y)|j1(x)163。y163。j2(x), a163。x163。b}. 因為連續(xù), 所以由二重積分的計算法有 . 另一方面, 由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計算法有 . 因此 . 設(shè)D={(x, y)|y1(y)163。x163。y2(y), c163。y163。d}. 類似地可證 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上兩式同時成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問題: 對復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L, 取P=y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設(shè)D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“177?！碧枺?) 例3. 計算, 其中D是以O(shè)(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)為頂點的三角形閉區(qū)域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 則. 因此, 由格林公式有 . 例4 計算, 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向. 解: 令, . 則當(dāng)x2+y2185。0時, 有. 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(dāng)(0, 0)207。D時, 由格林公式得。 當(dāng)(0, 0)206。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時針方向. 于是 =2p. 解 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(dāng)(0, 0)207。D時, 由格林公式得 . 當(dāng)(0, 0)206。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1, 應(yīng)用格林公式得, 即, 其中l(wèi)的方向取順時針方向. 于是 =2p.分析: 這里, , 當(dāng)x2+y2185。0時, 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān): 設(shè)G是一個開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān)