【正文】 x)]dx=lim229。[f(xi)177。g(xi)]Dxil174。0i=1nnn=lim229。f(xi)Dxi177。lim229。g(xi)Dxil174。0i=1bl174。0i=1=242。af(x)dx177。242。ag(x)dx.性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即b242。akf(x)dx=k242。af(x)dx. bnnbbb這是因?yàn)?42。akf(x)dx=lim229。kf(xi)Dxi=klim229。f(xi)Dxi=k242。af(x)dx.l174。0i=1l174。0i=1 性質(zhì)3 如果將積分區(qū)間分成兩部分 則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和 即 242。af(x)dx=242。af(x)dx+242。cbcbf(x)dx.這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性.值得注意的是不論a ,b ,c的相對(duì)位置如何總有等式242。af(x)dx=242。af(x)dx+242。cf(x)dx 242。af(x)dx=242。af(x)dx+242。bf(x)dx,天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 cbcbcb成立. 例如, 當(dāng)a高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分于是有242。af(x)dx=242。af(x)dx242。bf(x)dx=242。af(x)dx+242。c242。a1dx=242。adx=ba.242。af(x)dx179。0(ab).242。af(x)dx163。242。ag(x)dx(ab).242。ag(x)dx242。af(x)dx=242。a[g(x)f(x)]dx179。0,242。af(x)dx163。242。ag(x)dx.bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx.性質(zhì)4如果在區(qū)間[a b]上f(x)186。1 則性質(zhì)5如果在區(qū)間[a, b]上 f(x)179。0, 則推論1如果在區(qū)間[a, b]上 f(x)163。 g(x)則這是因?yàn)間(x)f(x)179。0, 從而所以推論2 |242。af(x)dx|163。242。a|f(x)|dx(ab).這是因?yàn)閨f(x)| 163。 f(x)163。 |f(x)|, 所以242。a|f(x)|dx163。242。af(x)dx163。242。a|f(x)|dx,即 |242。af(x)dx|163。242。a|f(x)|dx| .性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的最大值及最小值, 則m(ba)163。242。af(x)dx163。M(ba)(ab).證明因?yàn)?m163。 f(x)163。 M , 所以從而m(ba)163。242。af(x)dx163。M(ba).性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 則在積分區(qū)間[a, b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)x , 使下式成立: bbbbbbb,242。amdx163。242。af(x)dx163。242。aMdxbbb天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分242。af(x)dx=f(x)(ba). b這個(gè)公式叫做積分中值公式.證明由性質(zhì)6m(ba)163。242。af(x)dx163。M(ba), 各項(xiàng)除以ba得bm163。1242。af(x)dx163。M,bab再由連續(xù)函數(shù)的介值定理, 在[a, b]上至少存在一點(diǎn)x , 使bf(x)=1242。af(x)dx,ba于是兩端乘以ba得中值公式242。af(x)dx=f(x)(ba). b積分中值公式的幾何解釋:應(yīng)注意: 不論ab, 積分中值公式都成立.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分167。5. 2 微積分基本公式一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)物體從某定點(diǎn)開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng), 在t時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路程為S(t), 速度為v=v(t)=S162。(t)(v(t)179。0), 則在時(shí)間間隔[T1, T2]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S可表示為S(T2)S(T1)及242。T2v(t)dt,1T即 242。T2v(t)dt=S(T2)S(T1).1T上式表明, 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1, T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1, T2]上的增量.這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù), 并且設(shè)x為[a, b]上的一點(diǎn). 我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a, x]上的定積分242。af(x)dxxx稱為積分上限的函數(shù). 它是區(qū)間[a, b]上的函數(shù), 記為 F(x)=242。af(x)dx, 或F(x)=242。af(t)dt.定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù), 則函數(shù)F(x)=242。af(x)dx在[a, b]上具有導(dǎo)數(shù), 并且它的導(dǎo)數(shù)為xF162。(x)=d242。af(t)dt=f(x)(a163。xdxxx簡(jiǎn)要證明若x206。(a, b), 取Dx使x+Dx206。(a, b).DF=F(x+Dx)F(x)=242。a=242。af(t)dt+242。xxx+Dxx+Dxf(t)dt242。af(t)dtxf(t)dt242。af(t)dt x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分=242。xx+Dxf(t)dt=f(x)Dx,應(yīng)用積分中值定理, 有DF=f(x)Dx,其中x在x 與x+Dx之間, Dx174。0時(shí), x174。x . 于是F162。(x)=limDF=limf(x)=limf(x)=f(x).Dx174。0DxDx174。0x174。x若x=a , 取Dx0, 則同理可證F+162。(x)= f(a)。 若x=b , 取Dx定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù), 則函數(shù)F(x)=242。af(x)dx就是f(x)在[a, b]上的一個(gè)原函數(shù).定理的重要意義: 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的, 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.三、牛頓萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的一個(gè)原函數(shù), 則x242。af(x)dx=F(b)F(a).xb此公式稱為牛頓萊布尼茨公式, 也稱為微積分基本公式.這是因?yàn)镕(x)和F(x)=242。af(t)dt都是f(x)的原函數(shù), 所以存在常數(shù)C, 使F(x)F(x)=C(C為某一常數(shù)).由F(a)F(a)=C及F(a)=0, 得C=F(a), F(x)F(x)=F(a). 由F(b)F(b)=F(a), 得F(b)=F(b)F(a), 即242。af(x)dx=F(b)F(a).xb證明: 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù), 又根據(jù)定理2, 積分上限函數(shù)F(x)=242。af(t)dt也是f(x)的一個(gè)原函數(shù). 于是有一常數(shù)C, 使F(x)F(x)=C(a163。x163。b).當(dāng)x=a時(shí), 有F(a)F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a)。 當(dāng)x=b 時(shí), F(b)F(b)=F(a),所以F(b)=F(b)F(a), 即242。af(x)dx=F(b)F(a). b 為了方便起見(jiàn), 可把F(b)F(a)記成[F(x)]ba, 于是天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分a=F(b)F(a).242。af(x)dx=[F(x)]bb進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系..解: 由于1x3是x2的一個(gè)原函數(shù), 所以 1242。1213131xdx=[1x3]10=10=. 033333例2 計(jì)算242。1dx2.1+x解 由于arctan x是12的一個(gè)原函數(shù), 所以1+x242。13 p( p)=7p.dx=[arctanx]3==arctan3arctan(1)134121+x2.x解: 12=ln 1ln 2=ln 2. 242。2xdx=[ln|x|]11=sin x在[0, p]上與x軸所圍成的平面圖形的面積.解: 這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例. 它的面積A=242。0sinxdx=[cosx]p0=(1)(1)=2. , =5m/s2剎車. 問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車, 汽車走了多少距離？解從開(kāi)始剎車到停車所需的時(shí)間:當(dāng)t=0時(shí), 汽車速度v0=36km/h=36180。1000m/s=10m/s.3600剎車后t時(shí)刻汽車的速度為v(t)=v0+at =105t .當(dāng)汽車停止時(shí), 速度v(t)=0, 從v(t)=105t =0 得, t=2(s).于是從開(kāi)始剎車到停車汽車所走過(guò)的距離為2=10(m),s=242。0v(t)dt=242。0(105t)dt=[10t51t2]0222p天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分即在剎車后, 汽車需走過(guò)10m才能停住.(x)在[0, +165。)內(nèi)連續(xù)且f(x)0. 證明函數(shù)F(x)=在(0, +165。)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).xx 證明: d242。0 tf(t)dt=xf(x), d242。0f(t)dt=f(x). 故dxdx242。0tf(t)dtx242。0f(t)dtxF162。(x)=xf(x)242。0f(t)dtf(x)242。0tf(t)dt(242。0f(t)dt)xx2xx=f(x)242。0(xt)f(t)dt(242。0f(t)dt)x2x.按假設(shè), 當(dāng)0tx時(shí)f(t)0,(xt)f(t) 0 , 所以242。0f(t)dt0, x242。0(xt)f(t)dt0,242。cosxetdtx212從而F 162。(x)0(x0), 這就證明了F(x)在(0, +165。)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).174。0.解: 這是一個(gè)零比零型未定式, 由羅必達(dá)法則,limx174。0242。cosxetdtx2x212limx174。0242。1cosxt2edtx2cosx=limsinxe=1.x174。02x2e2提示: 設(shè)F(x)=242。1etdt, 則F(cosx)=242。1cosxt2edt.dcosxet2dt=dF(cosx)=dF(u)du=eu2(sinx)=sinxecos2x.dx242。1dxdudx天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分167。5. 3 定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法定理假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù), 函數(shù)x=j(t)滿足條件:(1)j(a )=a , j(b)=b。(2)j(t)在[a, b](或[b, a])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且其值域不越出[a, b], 則有242。af(x)dx=242。af[j(t)]j162。(t)dt.這個(gè)公式叫做定積分的換元公式.證明由假設(shè)知, f(x)在區(qū)間[a, b]上是連續(xù), 因而是可積的。 f [j(t)]j162。(t)在區(qū)間[a, b](或[b, a])上也是連續(xù)的, 因而是可積的.假設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 則bb242。af(x)dx=F(b)F(a).另一方面, 因?yàn)閧F[j(t)]}162。=F 162。[j(t)]j162。(t)= f [j(t)]j162。(t), 所以F[j(t)]是f [j(t)]j162。(t)的一個(gè)原函數(shù), 從而b242。af[j(t)]j162。(t)dt=F[j(b)]F[j(a)]=F(b)F(a).因此 242。af(x)dx=242。af[j(t)]j162。(t)dt.例1 計(jì)算242。0a2x2dx(a0).解 abbb242。0aa2x2dx 令x=asint 242。02acostacostdt pp2pa2222(=a0costdt=1+cos2t)dt20242。242。天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分22=1pa2.=a[t+1sin2t]0224p提示: a2x2=a2a2sin2t=acost, dx=a cos t . 當(dāng)x=0時(shí)t=0, 當(dāng)x=a時(shí)t=pp. 例2 計(jì)算242。02cos5xsinxdx.解 令t=cos x, 則pp242。20cosxsinxdx=242。02cos5xdcosx011 242。1t5dt=242。0t5dt=[1t6]0=1.令cosx=t提示: 當(dāng)x=0時(shí)t=1, 當(dāng)x=p時(shí)t=0.2或242。20pcosxsinxdx=242。02cos5xdcosx 5pp2=1cos6p+1cos60=1.=[1cos6x]066266例3 計(jì)算242。0sin3xsin5xdx.解 p242。0psin3xsin5xdx=242。0sin2x|cosx|dxp3p =242。2sin2xcosxdx242。psin2xcosxdx02p3=242。32sin20pxdsinx242。3p2psin2xdsinxp55p222 =[sinx]0[sin2x]p=2(2)=4.555525提示: sinxsinx=sinx(1sin35323x)=sin2x|cosx|.在[0, p]上|cos x|=cos x, 在[p, p]上|cos x|=cos x.4例4 計(jì)算242。x+2dx.02x+1解 242。04x+2dx 令2x+1t21+232x+1=t32 242。1tdt=1242。1(t2+3)dtt2312711122.=[t3+3t]1=[(+9)(+3)]=232333天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分2t提示: x=1, dx=tdt。 當(dāng)x=0時(shí)t=1, 當(dāng)x=4時(shí)t=3.2例5 證明: 若f(x)在[a, a]上連續(xù)且為偶函數(shù), 則242。af(x)dx=2242。0aaaf(x)dx.0a證明 因?yàn)?42。af(x)dx=242。af(x)dx+242。0f(x)dx, 而所以242。af(x)dx a0令x=t 242。af(t)dt=242。0f(t)dt=242。0f(x)dx,a0aa242。af(x)dx=242。0aaf(x)dx+242。0f(x)dxaa=242。0[f(x)+f(x)]dx=242。a2f(x)dx=2242。0f(x)dx.討論:若f(x)在[a, a]上連續(xù)且為奇函數(shù), 問(wèn)242。af(x)dx=？提示:若f(x)為奇函數(shù), 則f(x)+f(x)=0, 從而a242。af(x)dx=242。0[f(x)+f(x)]dx=0.ppaa例6 若f(x)在[0, 1]上連續(xù), 證明(1)242。02f(sinx)dx=242。02f(cosx)dx。(2)242。0xf(sinx)dx= p2p242。0pf(sinx)dx.證明(1)令x