【正文】 h0, 確定, 定義域為. 20. 收斂音機每臺售價為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的, 每多訂購1臺, 售價就降低1分, 但最低價為每臺75元. (1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)。 (2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)。 (3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？ 解 (1)當0163。x163。100時, p=90. (x0100)=9075, 得x0=1600. 因此當x179。1600時, p=75. 當100x1600時, p=90(x100)180。=910. 01x. 綜合上述結果得到 . (2). (3) P=31180。180。10002=21000(元). 習題12 1. 觀察一般項xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢, 寫出它們的極限: (1)。 解 當n174。165。時, 174。0, . (2)。 解 當n174。165。時, 174。0, . (3)。 解 當n174。165。時, 174。2, . (4)。 解 當n174。165。時, 174。0, . (5) xn=n(1)n. 解 當n174。165。時, xn=n(1)n沒有極限. 2. 設數(shù)列{xn}的一般項. 問=? 求出N, 使當nN時, xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =, 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n0|e , 只要, 也就是. 取, 則nN, 有|xn0|e . 當e =, =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1)。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因為e0, $, 當nN時, 有, 所以. (2)。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因為e0, $, 當nN時, 有, 所以. (3)。 分析 要使, 只須. 證明 因為e0, $, 當nN時, 有, 所以. (4). 分析 要使| 91|, 只須e , 即. 證明 因為e0, $, 當nN時, 有| 91|e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 證明 因為, 所以e0, $N206。N, 當nN時, 有, 從而||un||a||163。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因為數(shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。Z, 有|xn|163。M. 又, 所以e0, $N206。N, 當nN時, 有. 從而當nN時, 有 , 所以. 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 證明: xn174。a(n174。165。). 證明 因為x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 所以e0, $K1, 當2k12K11時, 有| x2k1a|e 。 $K2, 當2k2K2時, 有|x2ka|e . 取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。a (n174。165。).習題13 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。 分析 因為 |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 所以要使|(3x1)8|e , 只須. 證明 因為e0, $, 當0|x3|d時, 有 |(3x1)8|e , 所以. (2)。 分析 因為 |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 所以要使|(5x+2)12|e , 只須. 證明 因為e 0, $, 當0|x2|d時, 有 |(5x+2)12|e , 所以. (3)。 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為e 0, $, 當0|x(2)|d時, 有 , 所以. (4). 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為e 0, $, 當時, 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。 分析 因為 , 所以要使, 只須, 即. 證明 因為e 0, $, 當|x|X時, 有 , 所以. (2). 分析 因為 . 所以要使, 只須, 即. 證明 因為e0, $, 當xX時, 有 , 所以. 3. 當x174。2時, y=x2174。4. 問d等于多少, 使當|x2|d時, |y4|？ 解 由于當x174。2時, |x2|174。0, 故可設|x2|1, 即1x3. 要使 |x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要. 取d=, 則當0|x2|d時, 就有|x24|0. 001. 4. 當x174。165。時, , 問X等于多少, 使當|x|X時, |y1|? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當x174。0時極限為零. 證明 因為 |f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|, 所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e. 因為對e0, $d=e, 使當0|x0|d, 時有 |f(x)0|=||x|0|e, 所以. 6. 求 當x174。0時的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時的極限是否存在. 證明 因為 , , , 所以極限存在. 因為 , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x174。+165。及x174。165。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因為, , 所以e0, $X10, 使當xX1時, 有|f(x)A|e 。 $X20, 使當xX2時, 有|f(x)A|e . 取X=max{X1, X2}, 則當|x|X時, 有|f(x)A|e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當x174。x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設f(x)174。A(x174。x0), 則e0, $d0, 使當0|xx0|d 時, 有|f(x)A|e . 因此當x0dxx0和x0xx0+d 時都有|f(x)A|e . 這說明f(x)當x174。x0時左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設f(x00)=f(x0+0)=A, 則e0, $d10, 使當x0d1xx0時, 有| f(x)Ae 。 $d20, 使當x0xx0+d2時, 有| f(x)A|e . 取d=min{d1, d2}, 則當0|xx0|d 時, 有x0d1xx0及x0xx0+d2 , 從而有| f(x)A|e , 即f(x)174。A(x174。x0). 9. 試給出x174。165。時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x174。165。時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x174。165。時的極限存在, 則存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M. 證明 設f(x)174。A(x174。165。), 則對于e =1, $X0, 當|x|X時, 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。|f(x)A|+|A|1+|A|. 這就是說存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M, 其中M=1+|A|. 習題14 1. 兩個無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當x174。0時, a(x)=2x, b(x)=3x都是無窮小, 但, 不是無窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當x174。3時為無窮小。 (2)當x174。0時為無窮小. 證明 (1)當x185。3時. 因為e0, $d=e , 當0|x3|d時, 有, 所以當x174。3時為無窮小. (2)當x185。0時. 因為e0, $d=e , 當0|x0|d時, 有, 所以當x174。0時為無窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當x174。0時的無窮大. 問x應滿足什么條件, 能使|y|104？ 證明 分析, 要使|y|M, 只須, 即. 證明 因為M0, $, 使當0|x0|d時, 有, 所以當x174。0時, 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當時, |y|104. 4. 求下列極限并說明理由: (1)。 (2). 解 (1)因為, 而當x174。165。 時是無窮小, 所以. (2)因為(x185。1), 而當x174。0時x為無窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表:f(x)174。Af(x)174。165。f(x)174。+165。f(x)174。165。x174。x0e0, $d0, 使當0|xx0|d時, 有恒|f(x)A|e. x174。x0+x174。x0x174。165。e0, $X0, 使當|x|X時, 有恒|f(x)|M.x174。+165。x174。165。解f(x)174。Af(x)174。165。f(x)174。+165。f(x)174。165。x174。x0e0, $d0, 使當0|xx0|d時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當0|xx0|d時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當0|xx0|d時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當0|xx0|d時, 有恒f(x)M.x174。x0+e0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當0x0xd時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當0x0xd時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當0x0xd時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當0x0xd時, 有恒f(x)M.x174。165。e0, $X0, 使當|x|X時, 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當|x|X時, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當|x|X時, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當|x|X時, 有恒f(x)M.x174。+165。e0, $X0, 使當xX時, 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當xX時, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當xX時, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當xX時, 有恒f(x)M.x174。165。e0, $X0, 使當xX時, 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當xX時, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當xX時, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當xX時, 有恒f(x)M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(165。, +165。)內是否有界？這個函數(shù)是否為當x174。+165。 時的無窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(165。, +165。)內無界. 這是因為M0, 在(165。, +165。)內總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當k充分大時, 就有| y(2kp)|M. 當x174。+165。 時, 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因為M0, 找不到這樣一個時刻N, 使對一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對任何大的N, 當k充分大時, 總有, 但|y(x)|=0M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界, 但這函數(shù)不是當x174。0+時的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為 M0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)M. 例如當(k=0, 1, 2, )時, 有,