【正文】 h0, 確定, 定義域?yàn)? 20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購(gòu), 決定凡是訂購(gòu)量超過100臺(tái)以上的, 每多訂購(gòu)1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元. (1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量x的函數(shù)。 (2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù)。 (3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái), 廠方可獲利潤(rùn)多少？ 解 (1)當(dāng)0163。x163。100時(shí), p=90. (x0100)=9075, 得x0=1600. 因此當(dāng)x179。1600時(shí), p=75. 當(dāng)100x1600時(shí), p=90(x100)180。=910. 01x. 綜合上述結(jié)果得到 . (2). (3) P=31180。180。10002=21000(元). 習(xí)題12 1. 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢(shì), 寫出它們的極限: (1)。 解 當(dāng)n174。165。時(shí), 174。0, . (2)。 解 當(dāng)n174。165。時(shí), 174。0, . (3)。 解 當(dāng)n174。165。時(shí), 174。2, . (4)。 解 當(dāng)n174。165。時(shí), 174。0, . (5) xn=n(1)n. 解 當(dāng)n174。165。時(shí), xn=n(1)n沒有極限. 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng). 問=? 求出N, 使當(dāng)nN時(shí), xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =, 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n0|e , 只要, 也就是. 取, 則nN, 有|xn0|e . 當(dāng)e =, =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1)。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (2)。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (3)。 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (4). 分析 要使| 91|, 只須e , 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有| 91|e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說(shuō)明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 證明 因?yàn)? 所以e0, $N206。N, 當(dāng)nN時(shí), 有, 從而||un||a||163。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。Z, 有|xn|163。M. 又, 所以e0, $N206。N, 當(dāng)nN時(shí), 有. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 , 所以. 6. 對(duì)于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 證明: xn174。a(n174。165。). 證明 因?yàn)閤2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 所以e0, $K1, 當(dāng)2k12K11時(shí), 有| x2k1a|e 。 $K2, 當(dāng)2k2K2時(shí), 有|x2ka|e . 取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。a (n174。165。).習(xí)題13 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。 分析 因?yàn)? |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 所以要使|(3x1)8|e , 只須. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有 |(3x1)8|e , 所以. (2)。 分析 因?yàn)? |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 所以要使|(5x+2)12|e , 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e , 所以. (3)。 分析 因?yàn)? , 所以要使, 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)0|x(2)|d時(shí), 有 , 所以. (4). 分析 因?yàn)? , 所以要使, 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)時(shí), 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。 分析 因?yàn)? , 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 , 所以. (2). 分析 因?yàn)? . 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)xX時(shí), 有 , 所以. 3. 當(dāng)x174。2時(shí), y=x2174。4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x2|d時(shí), |y4|？ 解 由于當(dāng)x174。2時(shí), |x2|174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3. 要使 |x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要. 取d=, 則當(dāng)0|x2|d時(shí), 就有|x24|0. 001. 4. 當(dāng)x174。165。時(shí), , 問X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。0時(shí)極限為零. 證明 因?yàn)? |f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|, 所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e. 因?yàn)閷?duì)e0, $d=e, 使當(dāng)0|x0|d, 時(shí)有 |f(x)0|=||x|0|e, 所以. 6. 求 當(dāng)x174。0時(shí)的左﹑右極限, 并說(shuō)明它們?cè)趚174。0時(shí)的極限是否存在. 證明 因?yàn)? , , , 所以極限存在. 因?yàn)? , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x174。+165。及x174。165。時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因?yàn)? , 所以e0, $X10, 使當(dāng)xX1時(shí), 有|f(x)A|e 。 $X20, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)A|e . 取X=max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x174。x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。A(x174。x0), 則e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有|f(x)A|e . 因此當(dāng)x0dxx0和x0xx0+d 時(shí)都有|f(x)A|e . 這說(shuō)明f(x)當(dāng)x174。x0時(shí)左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設(shè)f(x00)=f(x0+0)=A, 則e0, $d10, 使當(dāng)x0d1xx0時(shí), 有| f(x)Ae 。 $d20, 使當(dāng)x0xx0+d2時(shí), 有| f(x)A|e . 取d=min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有x0d1xx0及x0xx0+d2 , 從而有| f(x)A|e , 即f(x)174。A(x174。x0). 9. 試給出x174。165。時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x174。165。時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當(dāng)x174。165。時(shí)的極限存在, 則存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|M. 證明 設(shè)f(x)174。A(x174。165。), 則對(duì)于e =1, $X0, 當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。|f(x)A|+|A|1+|A|. 這就是說(shuō)存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|M, 其中M=1+|A|. 習(xí)題14 1. 兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定是無(wú)窮??？舉例說(shuō)明之. 解 不一定. 例如, 當(dāng)x174。0時(shí), a(x)=2x, b(x)=3x都是無(wú)窮小, 但, 不是無(wú)窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當(dāng)x174。3時(shí)為無(wú)窮小。 (2)當(dāng)x174。0時(shí)為無(wú)窮小. 證明 (1)當(dāng)x185。3時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。3時(shí)為無(wú)窮小. (2)當(dāng)x185。0時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。0時(shí)為無(wú)窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當(dāng)x174。0時(shí)的無(wú)窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, 能使|y|104？ 證明 分析, 要使|y|M, 只須, 即. 證明 因?yàn)镸0, $, 使當(dāng)0|x0|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。0時(shí), 函數(shù)是無(wú)窮大. 取M=104, 則. 當(dāng)時(shí), |y|104. 4. 求下列極限并說(shuō)明理由: (1)。 (2). 解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x174。165。 時(shí)是無(wú)窮小, 所以. (2)因?yàn)?x185。1), 而當(dāng)x174。0時(shí)x為無(wú)窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義, 填寫下表:f(x)174。Af(x)174。165。f(x)174。+165。f(x)174。165。x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. x174。x0+x174。x0x174。165。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.x174。+165。x174。165。解f(x)174。Af(x)174。165。f(x)174。+165。f(x)174。165。x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.x174。x0+e0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒f(x)M.x174。165。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.x174。+165。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.x174。165。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(165。, +165。)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)x174。+165。 時(shí)的無(wú)窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(165。, +165。)內(nèi)無(wú)界. 這是因?yàn)镸0, 在(165。, +165。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x174。+165。 時(shí), 函數(shù)y=xcos x不是無(wú)窮大. 這是因?yàn)镸0, 找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn), 使對(duì)一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對(duì)任何大的N, 當(dāng)k充分大時(shí), 總有, 但|y(x)|=0M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無(wú)界, 但這函數(shù)不是當(dāng)x174。0+時(shí)的無(wú)窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無(wú)界. 這是因?yàn)? M0, 在(0, 1]中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)(k=0, 1, 2, )時(shí), 有,