【正文】 1, 0163。10. 7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 一、斯托克斯公式 定理1 設(shè)G為分段光滑的空間有向閉曲線, S是以G為邊界的分片光滑的有向曲面, G的正向與S 的側(cè)符合右手規(guī)則, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S(連同邊界)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 . 記憶方式: ,或 , 其中n=(cosa , cosb , cosg)為有向曲面S的單位法向量. 討論: 如果S是xOy面上的一塊平面閉區(qū)域, 斯托克斯公式將變成什么? 例1 利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分, 其中G為平面x+y+z=1被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界, 它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則. 解 按斯托克斯公式, 有 . 由于S的法向量的三個(gè)方向余弦都為正, 又由于對(duì)稱性, 上式右端等于, 其中Dxy為xOy 面上由直線x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形閉區(qū)域, 因此 . 解 設(shè)S為閉曲線G所圍成的三角形平面, S在yOz面、zOx面和xOy面上的投影區(qū)域分別為Dyz、Dzx和Dxy , 按斯托克斯公式, 有 . 例2 利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分 , 其中G是用平面截立方體: 0163。0). 于是 . 三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù). 如果S取上側(cè), 則有. 另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦為 , , , 故由對(duì)面積的曲面積分計(jì)算公式有 . 由此可見(jiàn), 有 . 如果S取下側(cè), 則有 . 但這時(shí), 因此仍有 , 類似地可推得 , . 綜合起來(lái)有 , 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫(xiě)成如下向量的形式: , 或, 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上點(diǎn)(x, y, z)處的單位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 稱為有向曲面元, An為向量A在向量n上的投影. 例3 計(jì)算曲面積分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之間的部分的下側(cè). 解 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 . 在曲面S上, (提示: 曲面上向下的法向量為(x, y, 1) ) , , . 故 =8p. 解: 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 =8p. 提示: . 167。0, y179。0, y179。a, 0163。a, 0163。z163。c)的前側(cè)。 S3: x=a (0163。x163。a, 0163。c ). 解: 把W的上下面分別記為S1和S2。a, 0163。 當(dāng)S取下側(cè)時(shí), 積分前取“”. 這是因?yàn)? 按對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義, 有 =. 當(dāng)S取上側(cè)時(shí), cos g0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一點(diǎn), 故zi=z(xi, hi). 從而有 . 令l174。 (DSi)zx , cosgiDSi187。(DSi)xy ,因此上式可以寫(xiě)成 。0也就是(Ds)xy=0的情形. 類似地可以定義DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一側(cè)的流量: 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z))給出, S是速度場(chǎng)中的一片有向曲面, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上連續(xù), 求在單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量, 即流量F. 如果流體流過(guò)平面上面積為A的一個(gè)閉區(qū)域, 且流體在這閉區(qū)域上各點(diǎn)處的流速為(常向量)v, 又設(shè)n為該平面的單位法向量, 那么在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這閉區(qū)域的流體組成一個(gè)底面積為A、斜高為|v|的斜柱體. 當(dāng)(v,^n)時(shí), 這斜柱體的體積為 A|v|cosq=A vn. 當(dāng)(v,^n)時(shí), 顯然流體通過(guò)閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量F為零, 而Avn=0, 故F=Avn。g(x, y, z), 則 。 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值). 定義 設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(diǎn)(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。0時(shí), , 所以如果(0, 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi), 則結(jié)論成立, 而當(dāng)(0, 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí), 結(jié)論未必成立. 三、二元函數(shù)的全微分求積 曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān), 表明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0, y0)與終點(diǎn)(x, y)有關(guān). 如果與路徑無(wú)關(guān), 則把它記為 即 . 若起點(diǎn)(x0, y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn), 終點(diǎn)(x, y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn), 則 u(x, y)為G內(nèi)的的函數(shù). 二元函數(shù)u(x, y)的全微分為du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu), 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分. 那么在什么條件下表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x, y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？ 定理3 設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 簡(jiǎn)要證明: 必要性: 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 則有 , . 因?yàn)椤⑦B續(xù), 所以, 即. 充分性: 因?yàn)樵贕內(nèi), 所以積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān). 在G內(nèi)從點(diǎn)(x0, y0)到點(diǎn)(x, y)的曲線積分可表示為 考慮函數(shù)u(x, y). 因?yàn)? u(x, y) , 所以 . 類似地有, 從而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函數(shù)的全微分. 求原函數(shù)的公式: , , . 例6 驗(yàn)證:在右半平面(x0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解: 這里, . 因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在右半平面內(nèi), 是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線為從A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 問(wèn): 為什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例6 驗(yàn)證: 在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解 這里P=xy2, Q=x2y. 因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線為從O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 思考與練習(xí): , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, 那么(1)在G內(nèi)的曲線積分是否與路徑無(wú)關(guān)?(2)在G內(nèi)的閉曲線積分是否為零? (3) 在G內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域, 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無(wú)關(guān)?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3) 在G 1內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 3. 在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 但非常簡(jiǎn)單, 那么(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分? (2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分? (3)計(jì)算, 其中L為逆時(shí)針?lè)较虻纳习雸A周(xa)2+y2=a 2, y179。 219。D時(shí), 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針?lè)较?