【正文】 于是 =2p. 解 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(0, 0)207?！碧?？ ) 例3. 計算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)為頂點的三角形閉區(qū)域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 則. 因此, 由格林公式有 . 例4 計算, 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向. 解: 令, . 則當x2+y2185。x163。y163。 (2)拋物線x=y2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。(t), y162。 . 對坐標的曲線積分的性質: (1) 如果把L分成L1和L2, 則 . (2) 設L是有向曲線弧, L是與L方向相反的有向曲線弧, 則 . 兩類曲線積分之間的關系: 設{costi, sinti}為與Dsi同向的單位向量, 我們注意到{Dxi, Dyi}=Dsi, 所以Dxi=costiDsi, Dyi=sintiDsi, , . 即 , 或 . 其中A={P, Q}, t={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=tds={dx, dy}. 類似地有 , 或 . 其中A={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }, A t為向量A在向量t上的投影. 二、對坐標的曲線積分的計算: 定理: 設P(x, y)、Q(x, y)是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時, 點M(x, y)從L的起點A沿L運動到終點B, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定義在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a163。 變力在L上所作的功近似為: 。 (4)計算定積分. 167。1), 因此 . 例2 計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度為m=1). 解 取坐標系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (a163。d), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a163。b), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(c163。0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 證明（略） 應注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(a163。t163。 性質3設在L上f(x, y)163。 在每一弧段Dsi上任取一點(xi, hi), 作和。 整個物質曲線的質量近似為。167。5. 知道散度與旋度的概念，并會計算。10曲線積分與曲面積分第十章 曲線積分與曲面積分教學目的：1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。2. 掌握計算兩類曲線積分的方法。6． 會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。 對弧長的曲線積分 一、 對弧長的曲線積分的概念與性質 曲線形構件的質量: 設一曲線形構件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構件在點(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構件的質量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧長)。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}174。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}, 如果當l174。g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對弧長的曲線積分的計算法 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構件L的質量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a163。b), 其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一階連續(xù)導數(shù), 且j162。x163。y163。t163。qa). 于是 =R3(asina cosa). 例3 計算曲線積分, 其中G為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應于t從0到達2p的一段弧. 解 在曲線G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結: 用曲線積分解決問題的步驟: (1)建立曲線積分。10. 2 對坐標的曲線積分 一、對坐標的曲線積分的概念與性質 變力沿曲線所作的功: 設一個質點在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點A=A0, A1, A2, , An1, An=B把L分成n個小弧段, 設Ak=(xk , yk), 有向線段的長度為Dsk, 它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, , n1). 顯然, 變力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 。 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長度的最大值. 提示: 用Dsi={Dxi,Dyi}表示從Li的起點到其終點的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對坐標的曲線積分的定義: 定義 設函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個有向小弧段L1, L2, , Ln。t163。(t)}, 所以,從而 . 應注意的問題: 下限a對應于L的起點, 上限b 對應于L的終點, a不一定小于b . 討論: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計算? 提示: , 其中a對應于G的起點, b對應于G的終點. 例題: , 其中L為拋物線y2=x上從點A(1, 1)到點B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0。 (3)從O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折線OAB . 解 (1)L: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)L: x=y2, y從0變到1. 所以 . (3)OA: y=0, x從0變到1。j2(x), a163。y2(y), c163。0時, 有. 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(0, 0)207。D時, 由格林公式得 . 當(0, 0)206。219。0, 167。0時, 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對面積的曲面積分的存在性: 我們指出當f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的光滑曲面S的質量M可表示為r(x, y, z)在S上對面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和. 例如設S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對面積的曲面積分的性質: (1)設c c 2為常數(shù), 則 。 (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對面積的曲面積分的計算 面密度為f(x, y, z)的物質曲面的質量為 . 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為D , 那么 曲面的面積元素為,質量元素為. 根據(jù)元素法, 曲面的質量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對