【正文】 14321432143214321979632322242xxxxxxxxxxxxxxxx → ???????????????????????1432432432432134336355042xxxxxxxxxxxxx→?????????????????00304244324321xxxxxxxx （ 2） 易知方程組（ 2）與（ 1）同解，而（ 2）的解為： ??????????????3344321xcxcxcx ? ?Rc? 或??????????????????334cccx =??????????????0111c +???????????????3034 注：（ 1）上述滴元法求解過程中，對方程組（ 1）進行了三種變換； ① 變換兩個方程的次序 ② 用非零的數乘某個方程兩邊 ③ 將某個方程的倍數加到另一個方程 （ 2）由于上述三種變換均是可逆的，故變換前后對應的方程組同解 ?（ 2）的解即是（ 1）的解 （ 3）上 述變換只與方程組（ 1）的增廣矩陣 ? ?bAB? 有關，而與未知量符號無關。 二．初等變換與初等矩陣 下列三種變換稱為矩陣的初等變換 (i)互換某兩行（記作 ji rr? ） ； (ii)非零數乘某行（記作 kri? ）； (iii)將某行的 l 倍數加到另一行上（記作 ji lrr? ） 將 中的“行”換成“列”，即矩陣的初等列變換 定義（把“ r”換成“ c”） 初等行，列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。 可證：任何矩陣 maxA 都可經過有限次初等行變換化成行階梯陣和行最簡陣，且 A 的行最簡陣是唯一確定的。 與之變換相對應有三類初等矩陣： （ i ）ijjijiE???????????????????????????????????10111101),(???????????????。 Th1 設 max)( ijaA? ，則對 A 進行的一次初等行（列）變換，相當于在 A 的左邊（右邊）乘上一個相應的 m 階（ n 階）初等矩陣。 .316211103110211103102010001))2(3( ??????????????????????????????????AE n 階方陣可逆 ? A 可表示成有限個初等矩陣的乘積。(2)取 B=E 時，提供了求方陣 A 逆陣一種方法： )(~)( 1?AEEA r 例 2（ P64 例 1）設???????????????264211112A ,求 A 的行最簡陣 B，并求一個可逆陣 P，使 PA=B。注意到：??? ???? nllnrn EPPA APPEAE ??111~ (P 為初等矩陣 )? ????????? BPPxAPPElln??11 ? ? ?????????xEBAr~ 。 設 ? ?mxnijaA?,以 A 中任取 k 行 k 列 ? ?? ?nmk ,min? ，位于這些行，列交叉處得元素保持 順序構成的 K 階行列式，稱為 A的一個 K 階子式 (易知，共有 knkmCC 個 )。(3)???????????????????00000340005213023012C 解：（ 1） R（ A） =2（列滿秩） （ 2）易驗明：左上角 0110 21 ??，且 4 個三階子式均為 0， ?R（ B） =2（降序） （ 3） C為行階梯矩陣，易知 C的 5個四階子式均為 0，且 0400230312??? ，?R（ C） =3（非零行數） 顯見，行階梯矩陣的秩 =它的非零行數問題是初等（行）變換是否改變矩陣的秩？回答是否定的， 若 A~B，則 R（ A） =R(B) 證明：略 （參見 P67） 表明：若 ? ?mxnijaA?，則 R（ A） =R（ B） =r（或將 A 化成標準形亦可） 注： 的逆命題也成立（見 P79 11） 事實上，設 R（ A） =R（ B） =r，則 ???????? 00 0~ rEA唯一 ，且 BAEB r ~00 0~ ?????????唯一 Coro, 若 ?可逆矩陣 P， Q 使 PAQ=B，則 R（ A） =R（ B） 注：此由 (iii)及上述 既知 例 2 （ P68 例 2）設??????????????????????6063324208421221A ， b=??????????????4321,求 A 與 ? ?bAB ,? 的秩，并求 B 的一個最高階非零子式。 (4)若 nBRARBA n x sm x n ??? )()(,0 則 (1),(2)證明參見 P6970。這樣作得前提是已知方程組（ *）確定有解。2239。00000000000100010001Bddaadaadaarrrnrrnrnr記????????????????????