同濟大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)-文庫吧資料
2024-11-04 10:19本頁面
【正文】 階方陣 A滿足 0232 ??? EAA ,證明： nEAREAR ???? )2()( （ *） 證：由 0)2)((23 ?????? EAEAEAA ,由性質(zhì)（ 4）得 ： nEAREAR ???? )2()( （ 1） ,)2()( EEAEA ????? 由性質(zhì)（ 2）得： n=R(E)=R[(AE)(A2E)] )2()( EAREAR ???? (2) 綜合（ 1）（ 2）知，（ *）式成立。 (4)若 nBRARBA n x sm x n ??? )()(,0 則 (1),(2)證明參見 P6970。 (2) )()()( BRARBAR ??? 。(3)???????????????????00000340005213023012C 解：（ 1） R（ A） =2（列滿秩） （ 2）易驗明：左上角 0110 21 ??，且 4 個三階子式均為 0， ?R（ B） =2（降序） （ 3） C為行階梯矩陣，易知 C的 5個四階子式均為 0，且 0400230312??? ，?R（ C） =3（非零行數(shù)） 顯見，行階梯矩陣的秩 =它的非零行數(shù)問題是初等（行）變換是否改變矩陣的秩？回答是否定的， 若 A~B，則 R（ A） =R(B) 證明：略 （參見 P67） 表明：若 ? ?mxnijaA?，則 R（ A） =R（ B） =r（或?qū)?A 化成標(biāo)準(zhǔn)形亦可） 注： 的逆命題也成立（見 P79 11） 事實上，設(shè) R（ A） =R（ B） =r，則 ???????? 00 0~ rEA唯一 ，且 BAEB r ~00 0~ ?????????唯一 Coro, 若 ?可逆矩陣 P， Q 使 PAQ=B，則 R（ A） =R（ B） 注：此由 (iii)及上述 既知 例 2 （ P68 例 2）設(shè)??????????????????????6063324208421221A ， b=??????????????4321,求 A 與 ? ?bAB ,? 的秩，并求 B 的一個最高階非零子式。 (2)顯然 ? ?nmAR ,min)(0 ?? ； （ 3） R(A)是 A 中非零子式的最高階數(shù)；（ ?r+1 階以上子式全為 0） （ 4）若 A 中有一個 r 階子式 0? ，則 rR? ；若 A 中所有 r 階子式 =0.則 rAR ?)( （ 5） )()( ARAR T ? (由 及行列式性質(zhì)知 ) 對于 ? ?mxnijaA?，當(dāng) R（ A） =m（ R（ A） =n）時，稱 A 為行（列）滿秩矩陣，特殊地，若 A 為 n階方陣，則 R（ A） =n? A 為滿秩矩陣? A 為可逆矩陣（ 0?A? ） 例 1 求下列矩陣的秩 (1) ???????????001021A 。 設(shè) ? ?mxnijaA?,以 A 中任取 k 行 k 列 ? ?? ?nmk ,min? ，位于這些行，列交叉處得元素保持 順序構(gòu)成的 K 階行列式，稱為 A的一個 K 階子式 (易知，共有 knkmCC 個 )。 解： ? ??BA?????????????????????????????501302050130221~520211231221312 r????????????23100210010221~r ????????????231024100010001~r ?????????????? ??231024x 例 5 設(shè)????????????321011324B ,解矩陣方程 BxxB ?? ???? 2 解：由 BxxB ?? ???? 2 ? ? BxEB ?????2， A=B2E，易知 0?A ，從而 A 可逆，??????????????????????????????? ???9122692683100010001~321011324121011322)1 rBABAx （又 ? ????????????????? ??9122692683x 。注意到：??? ???? nllnrn EPPA APPEAE ??111~ (P 為初等矩陣 )? ????????? BPPxAPPElln??11 ? ? ?????????xEBAr~ 。 注：左式給出的是求逆陣的一般方法。(2)取 B=E 時，提供了求方陣 A 逆陣一種方法： )(~)( 1?AEEA r 例 2（ P64 例 1）設(shè)???????????????264211112A ,求 A 的行最簡陣 B，并求一個可逆陣 P，使 PA=B。 (i)表明：若 BAr~ ，則 ? 可逆陣 P，使 PA=B。 .316211103110211103102010001))2(3( ??????????????????????????????????AE n 階方陣可逆 ? A 可表示成有限個初等矩陣的乘積。 記 ? ? ? ?, 11 njinnji EA ???????? ??????
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