同濟大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(已修改)
2024-11-12 10:19 本頁面
【正文】 一， 矩陣的初等變換與線性方程組 1. 矩陣的初等變換 一 . Gauss 滴元法 Gramer 法則僅適合方形的線性方程組，對于一般的 m 個方程 n 個未知量的線性方程組，可用 Gauss 消元法求解。 求解 ???????????????????????979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx （ 1） 解： （ 1） →???????????????????????14321432143214321979632322242xxxxxxxxxxxxxxxx → ???????????????????????1432432432432134336355042xxxxxxxxxxxxx→?????????????????00304244324321xxxxxxxx （ 2） 易知方程組（ 2）與（ 1）同解，而（ 2）的解為： ??????????????3344321xcxcxcx ? ?Rc? 或??????????????????334cccx =??????????????0111c +???????????????3034 注：（ 1）上述滴元法求解過程中，對方程組（ 1）進行了三種變換； ① 變換兩個方程的次序 ② 用非零的數(shù)乘某個方程兩邊 ③ 將某個方程的倍數(shù)加到另一個方程 （ 2）由于上述三種變換均是可逆的，故變換前后對應(yīng)的方程組同解 ?（ 2）的解即是（ 1）的解 （ 3）上 述變換只與方程組（ 1）的增廣矩陣 ? ?bAB? 有關(guān)，而與未知量符號無關(guān)。 二．初等變換與初等矩陣 下列三種變換稱為矩陣的初等變換 (i)互換某兩行（記作 ji rr? ） ； (ii)非零數(shù)乘某行（記作 kri? ）； (iii)將某行的 l 倍數(shù)加到另一行上（記作 ji lrr? ） 將 中的“行”換成“列”，即矩陣的初等列變換 定義（把“ r”換成“ c”） 初等行，列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。 若矩陣 A 經(jīng)過有限次初等行（列）變換化成矩陣 B，則稱 A 與B 行（列）等價，記作 )~(~ BABA cr ； 若 A 經(jīng)過有限次初等變換化成 A 與 B 等價，記作 A~B. 性質(zhì) 1：矩陣等價關(guān)系適合 （ i） 反射性： A~A。(ii)對稱性 A~B? B~A。 (iii)傳遞性 :A~B,B~C? A~C 例如，引例 1 中B=????????????????????97963422644121121112?????????????????00000310000111041211~r??????????????????00000310003011040101~1rB記FBc 記記????????????????0000010000100001~2 形如 21 BB或 的矩陣稱為行階梯形矩陣，其特征是：可畫出一條階梯線，且線的下方全為零，以求解線性方程組的角度而言， 12 BB比 更簡， 2B 也稱為行最簡形矩陣，其特征是：非零行的第一個非零元為 1，且它們所在列餓其它元素都為零。 可證：任何矩陣 maxA 都可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣和行最簡陣，且 A 的行最簡陣是唯一確定的。 對于 2B 再適當范圍初等列變換，得到的矩陣 F 稱為 B 的標準形，其特征是：左上角為單位陣，其全元素都為零。 可證：任何矩陣m a xm a x 000~ ??????? rEFA ，且 F 唯一 。 P78(2) 例 1 將???????????234554324321A 化成行最簡陣和標準形 解：1000032102101~000032104321~18126032104321~ AA rrr ??????????? ???????????????????????????? （行最簡陣）；??????????000000100001~~ 1 Cr AA (標準形 ) 對 E 進行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 。 與之變換相對應(yīng)有三類初等矩陣： （ i ）ijjijiE???????????????????????????????????10111101),(???????????????。 (ii) E(i,j)=ijik??????????????????????????1111?? (iii) E(ij(01)(=E(i,j(0,1))=ijji ??????????????????????????11011????? 性質(zhì) 2 （ 1
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