【正文】 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d2 1 a (4) a 2 a4 1 b b2 b4 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 1 c c2 c4 1 d d2 d4 2a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3 2 2 2 2 2a + 5 2b + 5 (c ?c , c ?c 得 ) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 5 2 2 =0 . 2 2 =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d)。 證明 1 a a2 a4 1 b b2 b4 1 c c2 c4 1 d d2 d4 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 7 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 1 1 1 1 0 b?a c?a d ?a = 0 b(b ? a) c(c ? a) d (d ? a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b ? a ) c (c ? a ) d 2(d 2 ? a2) = (b ? a)(c ? a)(d ? a) 1 1 1 b c d b2(b + a) c2(c + a) d 2(d + a) 1 1 1 = (b ? a)(c ? a)(d ? a) 0 c ?b d ?b 0 c(c ? b)(c + b + a) d (d ? b)(d + b + a) 1 = (b ? a)(c ? a)(d ? a)(c ? b)(d ? b) c(c +1 + a) d (d + b + a) b =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d). x 0 (5) ? ? ? 0 an ?1 x ??? 0 an?1 0 ?1 ??? 0 an?2 ??? ??? ??? ??? ??? 0 0 0 0 L ? ? ? =xn+a1xn?1+ ? ? ? +an?1x+an . x ?1 a2 x + a1 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 . x 當(dāng) n=2 時(shí) , D2 = a x?1 = x2 + a1x + a2 , 命題成立 . + a1 2 假設(shè)對(duì)于 (n?1)階行列式命題成立 , 即 Dn?1=xn?1+a1 xn?2+ ? ? ? +an?2x+an?1, 則 Dn 按第一列展開 , 有 Dn = xDn?1 + an (?1) n +1 ?1 0 ? ? ? 0 0 x ?1 ? ? ? 0 0 ??? ??? ??? ??? ??? 1 1 ? ? ? x ?1 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 8 工 程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 =xD n?1+an=xn+a1xn?1+ ? ? ? +an?1x+an . 因此 , 對(duì)于 n 階行列式命題成立 . 6. 設(shè) n 階行列式 D=det(aij), 把 D 上下翻轉(zhuǎn)、 或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn) , 依次得 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? a1n a1n ? ? ? ann ann ? ? ? a1n D2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , D3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? an1 an1 ? ? ? a11 證明 D1 = D2 = (?1) 證明 n(n ?1) 2 D , D3=D . ??? ??? ??? ??? 因?yàn)? D=det(aij), 所以 a11 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1)n ?1 an1 ??? a11 ? ? ? a1n a21 a11 a21 n ?1 n ?2 = (?1) (?1) an1 ??? a31 ??? ??? ??? ??? ??? a1n ann ??? a2n a1n a2n ann = ? ? ? ??? a3n n(n ?1) 2 = (?1)1+ 2+? ? ?+(n ?2)+(n?1) D = (?1) D. 同理可證 D2 = (?1) n(n ?1) 2 a11 ? ? ? an1 n(n ?1) n(n ?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1) 2 DT = (?1) 2 D . a1n ? ? ? ann 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 9 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 D3 = (?1) n(n ?1) 2 D2 = (?1) n(n ?1) 2 (?1) n(n ?1) 2 D = (?1)n(n?1) D = D . 7. 計(jì)算下列各行列式 (Dk 為 k 階行列式 ): (1) Dn = a 1 ?? 1 ? a , 其中對(duì)角線上元素都是 a, 未寫出的元素 都是 0。 解 a 0 Dn = 0 ??? 0 1 0 a 0 ??? 0 0 0 0 a ??? 0 0 0 0 a ??? 0 n ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? 0 0 0 ??? a 0 0 0 0 ??? a 1 0 0 (按第 n 行展開 ) ??? 0 a 1 a 0 2n + (?1) ? a ? ? ? 0 ??? a (n?1)(n?1) 0 (n?1)(n?1) + an =an?an?2=an?2(a2?1). 0 a = (?1)n+1 0 ??? 0 n +1 0 0 0 ??? 0 a ?? = (?1) ? (?1) a (n?2)(n?2) x a (2) Dn = ? ? ? a a x ??? a ??? ??? ??? ??? a a ??? 。 x 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 10 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 解 將第一行乘 (?1)分別加到其余各行 , 得 x a a a? x x?a 0 Dn = a ? x 0 x ? a ??? ??? ??? a?x 0 0 ??? a ??? 0 ??? 0 , ??? ??? 0 x?a 再將各列都加到第一列上 , 得 x + (n ?1)a a a 0 x?a 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0 ??? a ??? 0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?a an (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1 解 ? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 。 ??? ??? ??? a?n ??? 1 ??? 1 ??? a?n ??? ??? ? ? ? (a ? n)n ?1 ? ? ? (a ? n)n 根據(jù)第 6 題結(jié)果 , 有 Dn+1 = (?1) n(n +1) 2 1 1 a a ?1 ??? ??? a n?1 (a ?1)n?1 a n (a ?1)n 此行列式為范德蒙德行列式 . Dn+1 = (?1) = (?1) n(n+1) 2 n+1≥i j ≥1 ∏[(a ? i +1) ? (a ? j +1)] n(n +1) 2 n +1≥i j ≥1 ∏[?(i ? j)] 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 11 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 = (?1) = n(n +1) 2 ? (?1) n + (n ?1)+? ? ?+1 2 ? n +1≥i j ≥1 ∏(i ? j) n +1≥i j ≥1 ∏(i ? j) . ? ? ? ?? ? bn 。 ?? dn an ?? ?? (4) D2n = a1 b1 c1 d1 解 an D2n = ?? ?? ? ? ? ?