【正文】 若 |A|=0, 由 (1)知 |A*|=0, 此時(shí)命題也成立 . 因此|A*|=|A|n?1. 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 32 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 設(shè) 求 解 由 AB=A+2E 可得 (A?2E)B=A, 故 ?1 設(shè) 且 AB+E=A2+B, 求 解 即 由 AB+E=A2+B 得 (A?E)B=A2?E, (A?E)B=(A?E)(A+E). 0 0 1 因?yàn)? | A ? E |= 0 1 0 = ?1≠ 0 , 所以 (A?E)可逆 , 從而 設(shè) A=diag(1, ?2, 1), A*BA=2BA?8E, 求 B. 解 由 A*BA=2BA?8E 得 (A*?2E)BA=?8E, B=?8(A*?2E)?1A?1 =?8[A(A*?2E)]?1 =?8(AA*?2A)?1 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 33 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 =?8(|A|E?2A)?1 =?8(?2E?2A)?1 =4(E+A)?1 =4[diag(2, ?1, 2)]?1 = 4diag( 1 , ?1, 1 ) 2 2 =2diag(1, ?2, 1). 已知矩陣 A 的伴隨陣 且 ABA?1=BA?1+3E, 求 B. 解 由 |A*|=|A|3=8, 得 |A|=2. 由 ABA?1=BA?1+3E 得 AB=B+3A, B=3(A?E)?1A=3[A(E?A?1)]?1A = 3(E ? 1 A*)?1 = 6(2E ? A*)?1 2 0 1 0 3 0 0 1 0 ?1 0 0 6 0 23. 設(shè) P?1AP=Λ, 其中 求 解 由 P?1AP=Λ, 得 A=PΛP?1, 所以 A11= A=PΛ11P?1. 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 34 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 而 11 11 故 設(shè) AP=PΛ, 其中 求 ?(A)=A8(5E?6A+A2). 解 ?(Λ)=Λ8(5E?6Λ+Λ2) =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)?diag(?6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ?(A)=P?(Λ)P?1 = 1 P? = 設(shè)矩陣 A、 B 及 A+B 都可逆 , 證明 A?1+B?1 也可逆 , 并 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 35 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 求其逆陣 . 證明 因?yàn)? A?1(A+B)B?1=B?1+A?1=A?1+B?1, 而 A?1(A+B)B?1 是三個(gè)可逆矩陣的乘積 , 所以 A?1(A+B)B?1 可逆 , 即 A?1+B?1 可逆 . (A?1+B?1)?1=[A?1(A+B)B?1]?1=B(A+B)?1A. 計(jì)算 解 則 而 設(shè) ? 所以 即 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 36 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 27. 取 解 1 A B= 0 C D ?1 0 0 1 0 ?1 1 0 1 0 驗(yàn)證 0 2 1= 0 0 ?1 1 0 0 2 0 ?1 0 0 1 0 0 0 = 2 0 1 0 =4, 0 0 20 1 1 而 故 | A| | B | 1 1 = =0 , |C | | D | 1 1 A B ≠ | A| | B | . C D |C | | D | 設(shè) 求 |A |及 解 則 故 令 A1 = 8 8 8 | A8 |=| A18 || A2 |=| A1 |8| A2 |8 =1016 . 29. 設(shè) n 階矩陣 A 及 s 階矩陣 B 都可逆 , 求 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 37 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 ?1 C C 解 設(shè) 則 ?1 由此得 ? 所以 ?1 ?1 D D 解 設(shè) 則 AD ?1 由此得 ? ?1 所以 30. 求下列矩陣的逆陣 : 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 38 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 則 解 設(shè) ?1 2 ?1 ?1 ?1 于是 2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 8 5 ?1 解 設(shè) 則 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 39 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 第三章 矩陣的 初等變換與線性方程組 。 解 取 解 取 則 A2=A, 但 A≠0 且 (3)若 AX=AY, 且 A≠0, 則 則 AX=AY, 且 A≠0, 但 X≠Y . 7. 設(shè) 求 A2 , A3, ? ? ? 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 22 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 解 ? ? ? ? ? ?, Ak = 設(shè) 求 解 首先觀察 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 23 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 當(dāng) k=2 時(shí) , 顯然成立 . 假設(shè) k 時(shí)成立，則 k+1 時(shí)， ? 由數(shù)學(xué)歸納法原理知 : 設(shè) A, B 為 n 階矩陣，且 A 為對(duì)稱矩陣，證明 BTAB 也是 對(duì)稱矩陣 . 證明 因?yàn)? AT=A, 所以 成都大學(xué)詩(shī)葉子制作 24 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而 BTAB 是對(duì)稱矩陣 . 10. 設(shè) A, B 都是 n 階對(duì)稱矩陣， 證明 AB 是對(duì)稱矩陣的充分 必要條件是 AB=BA. 證明 充分性 : 因?yàn)? AT=A, BT=B, 且 AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即 AB 是對(duì)稱矩陣 . 必要性 : 因?yàn)? AT=A, BT=B, 且 (AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣 解 故 A?1 存在 . 因?yàn)? 故 解 故 A?1 存在 . 因?yàn)? 成 都大學(xué)詩(shī)葉子制作 25 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版