【正文】 ? 3 2 3? ? ?解? 3 2 1 1 0 0? ? 3 2 1 1 0 0? ? 3 1 5 0 1 0 ? ~ ? 0 ?1 4 ?1 1 0 ? ? 3 2 3 0 0 1 ? ? 0 0 2 ?1 0 1? ? ? ? ? ? 3 2 0 3/ 2 0 ?1/ 2 ? ? 3 0 0 7 / 2 2 ? 9 / 2 ? ~ ? 0 ?1 0 1 1 ? 2 ? ~ ? 0 ?1 0 1 1 ? 2? ? 0 0 2 ?1 0 ? ? 0 0 1 ?1/ 2 0 1/ 2 ? 1? ? ? ?? 1 0 0 7 / 6 2 / 3 ? 3/ 2 ? ~ ? 0 1 0 ?1 ?1 2? ? 0 0 1 ?1/ 2 0 1/ 2 ? ? ? ? 7 2 ? 3? ? 6 3 2? 故逆矩陣為 ? ?1 ?1 2 ? . ? 1 ? ? 0 1? ? 2 2? ?? 3 ? 2 0 ?1? ? ? (2) ? 0 2 2 1? . 1 ? 2 ?3 ? 2 ? 0 1 2 1? ? ?成都大學詩葉子制作 44
。(?3) , r 247。 0? ?1? ? 3? 1? (下一步: r ?3r , r ?2r , r ?3r . ) 2 1 3 1 4 1 0? ?1? ?解?1 ?3 ?2 ?3 ? ?1 ? ~ ?0 0 ?0 ? ?1 ? ~ ?0 0 ?0 ? ?1 ? ~ ?0 0 ?0 ??1 ?3 ?2 ?3?4 ?4 ?2 ?2?1 3 ? 4 3? 0 ? 4 8 ? 8? (下一步: r 247。 ? 0 4 ? 7 ?1? ? ?解? 0 2 ? 3 1? ? 0 3 ? 4 3? (下一步: r22+(?3)r1, r3+(?2)r1. ) ? 0 4 ? 7 ?1? ? ?? 0 2 ? 3 1? ~ ? 0 0 1 3? (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ? 0 0 ?1 ? 3? ? ? ? 0 2 0 10? ~ ? 0 0 1 3? (下一步: r1247。(?2). ) ? 0 0 ? 2 0? ? ? ? 1 0 2 ?1? ~ ? 0 0 1 ? 3? (下一步: r3?r2. ) ? 0 0 1 0? ? ?成都大學詩葉子制作 40 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集? 1 0 2 ?1? ~ ? 0 0 1 ? 3? (下一步: r3247。 ? 3 0 4 ? 3? ? ?解? 1 0 2 ?1? ? 2 0 3 1? (下一步: r2+(?2)r1, r3+(?3)r1. ) ? 3 0 4 ? 3? ? ? ? 1 0 2 ?1? ~ ? 0 0 ?1 3? (下一步: r2247。 ? B O? ? ??1C C 解 設 ?O A? = ? 1 2 ? , 則 ? B O ? ?C C ? ? ? ? 3 4?? O A ? ? C1 C2 ? = ? AC3 AC4 ? = ? En O ? . ? B O ? ? C C ? ? BC BC ? ? O E ? ? ? ? 3 4? ? 1 s? 2? ??1由此得? AC3 = En ?C3 = A?1 ? AC4 = O ?C4 = O ?BC = O ? ?C = O , ?BC1 = E ?C1 = B?1 ? 2 s ? 2所以? O A ? = ? O B ?1 ? . ? B O ? ? A?1 O ? ? ? ? ??1?1(2) ? A O ? . ?C B ? ? ?D D 解 設 ? A O? =? 1 2 ? , 則 ?C B ? ? D D ? ? ? ? 3 4?AD2 ? ? En O ? ? A O ?? D1 D2 ? = ? AD1 ? C B ?? D D ? ? CD + BD CD + BD ? = ? O E ? . ? ?? 3 4 ? ? 1 3 2 4? ? s??1由此得?D1 = A?1 ? AD1 = En ? AD2 = O ?D = O ?CD + BD = O ? ?D2 = ?B?1CA?1 , ?CD1 + BD3 = E ?D3 = B?1 ? 2 4 s ? 4O? ? A O ? = ? A?1 ? C B ? ? ? B ?1CA?1 B?1 ? . ? ? ? ??1所以30. 求下列矩陣的逆陣:成都大學詩葉子制作 38 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集?5 ? (1) ? 2 0 ?0 ? 2 1 0 0 0 0 8 5 0? 0? 。 (2)|A*|=|A|n?1.證明(1)用反證法證明. 假設|A*|≠0, 則有 A*(A*)?1=E, 由此得 A=A A*(A*)?1=|A|E(A*)?1=O ,所以 A*=O, 這與|A*|≠0 矛盾，故當|A|=0 時, 有|A*|=0.(2)由于 A?1 = 1 A* , 則 AA*=|A|E, 取行列式得到 | A| |A||A*|=|A|n.若|A|≠0, 則|A*|=|A|n?1。 ? ?1 2 ? ? ?1 1 ? ? 0 ?1? ? ? ? ? ? ?解X =? 1 ? ?1 ?4 ? ? 3 1 ?? 2 2 ? ? 0 ?1?? ?1 ? ? ???10? 1? ??1成都大學詩葉子制作 27 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集= 1 ? 2 ? 4 ?? 3 1 ??1 0 ? ? ?? ?? ? 12 ? 1 1 ?? 0 ?1??1 2 ? = 1 ?6 ? 12 ? 3 6 ??1 0 ??1 ?? 0? = ? 1 1? . ?1 ? 2? ? 0? ? ?4 ?? 0 1 0? ? 1 0 0? ? 1 ? 4 3 ? (4) ? 1 0 0 ? X ? 0 0 1 ? = ? 2 0 ?1? . ? 0 0 1? ? 0 1 0? ? 1 ? 2 0 ? ? ? ? ? ? ?解? 0 1 0 ? ? 1 ? 4 3 ?? 1 0 0 ? X = ? 1 0 0 ? ? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ? ? ? ?? ??1?1? 0 1 0 ?? 1 ? 4 3 ?? 1 0 0 ? ? 2 ?1 0 ? = ? 1 0 0 ?? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? = ? 1 3 ? 4 ? . ? 0 0 1 ?? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ? 1 0 ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: ? x1 + 2x2 + 3x3 =1 ? (1) ?2x1 + 2x2 + 5x3 = 2 。 ?2 1 ? 3? ? ? ?解X =?2 ?1 ?5? ? 4 ? 6 ? = ? 3 ? 5?? 4 ? 6 ? = ? 2 ? 23? . 3? ? 2 1 ? ? ?1 2 ?? 2 1 ? ? 0 8 ? ? ? ? ? ?? ? ? ??1? 2 1 ?1? 1 ?1 3 (2) X ? 2 1 0 ? = ? ? 4 3 2? 。 ? sinθ cosθ ? ? ?解A = ? cosθ ? sinθ ? . |A|=1≠0, 故 A?1 存在. 因為 ? sinθ cosθ ? ? ?成都大學詩葉子制作 25 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集A A A* = ? 11 21 ? = ? cosθ sinθ ? , ? A A ? ? ? sinθ cosθ ? ? ? 12 22 ? ?所以A?1 = 1 A* = ? cosθ sinθ ? . ? ? sinθ cosθ ? | A| ? ?? 1 2 ?1 ? (3) ? 3 4 ? 2 ? 。解 取 A=?1 ?0 ? 解 取1 ? , 則 A2=A, 但 A≠0 且 A≠E. 0? ?(3)若 AX=AY, 且 A≠0, 則 X=Y . A = ? 1 0 ? , X = ? 1 1? , Y = ? 1 1? , ? 0 0? ? ?1 1? ? 0 1? ? ? ? ? ? ?則 AX=AY, 且 A≠0, 但 X≠Y .7. 設 A = ? 1 0 ? , 求 A2, A3, ? ? ?, Ak. ? λ 1? ? ?成都大學詩葉子制作 22 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集解 A2 = ? 1 0 ?? 1 0 ? = ? 1 0 ? , ? λ 1 ?? λ 1 ? ? 2λ 1 ? ? ?? ? ? ?A3 = A2 A = ? 1 0 ?? 1 0 ? = ? 1 0 ? , ? 2λ 1 ?? λ 1 ? ? 3λ 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?,Ak = ? 1 0 ? . ? kλ 1 ? ? ??λ 1 0 ? 8. 設 A = ? 0 λ 1 ? , 求 Ak . ?0 0 λ? ? ?解首先觀察? λ 1 0 ?? λ 1 0 ? ? λ2 2λ 1 ? A = ? 0 λ 1 ?? 0 λ 1 ? = ? 0 λ2 2λ ? , ? 0 0 λ ?? 0 0 λ ? ? 0 0 λ2 ? ? ?? ? ? ?2? λ3 3λ2 3λ ? A3 = A2 ? A = ? 0 λ3 3λ2 ? , ? 0 0 λ3 ? ? ? ? λ4 4λ3 6λ2 ? A4 = A3 ? A = ? 0 λ4 4λ3 ? , ? 0 0 λ4 ? ? ? ? λ5 5λ4 10λ3 ? A5 = A4 ? A = ? 0 λ5 5λ4 ? , ? 0 0 λ5 ? ? ?? ? ? ? ? ?,成都大學詩葉子制作 23 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集? λk kλk ?1 k (k ?1) λk ?2 ? 2 Ak = ? 0 λk kλk ?1 ? 0 0 λk ? ? ? ? . ? ?用數(shù)學歸納法證明: 當 k=2 時, 顯然成立. 假設 k 時成立，則 k+1 時，? λk kλk ?1 k (k ?1) λk ?2 ? ? ?? λ 1 0 ? 2 Ak +1 = Ak ? A = ? 0 λk kλk ?1 ?? 0 λ 1 ? ?0 0 ?? 0 0 λ ? λk ? ? ?? ? ? ? λk +1 (k +1)λk ?1 (k +1)k λk ?1 ? ? ? 2 =? 0 (k +1)λk ?1 ? , λk +1 ? 0 λk +1 ? ? 0 ? ? ?由數(shù)學歸納法原理知:? λk kλk ?1 k (k ?1) λk ?2 ? ? ? 2 ? 0 λk Ak = kλk ?1 ? . ?0 0 ? λk ? ? ? ? 9. 設 A, B 為 n 階矩陣，且 A 為對稱矩陣，證明 BTAB 也是對稱矩陣. 證明 因為 AT=A, 所以成都大學詩葉子制作 24 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而 BTAB 是對稱矩陣. 10. 設 A, B 都是 n 階對稱矩陣， 證明 AB 是對稱矩陣的充分 必要條件是 AB=BA. 證明 充分性: 因為 AT=A, BT=B, 且 AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即 AB 是對稱矩陣. 必要性: 因為 AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1) ? 1 ?2 ? 解2? 。 ? ?? ? ? a13 a23 a33 ?? x3 ?成都大學詩葉子制作 20 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學線性代數(shù)第五版答案全集解? a11 a12 a13 ?? x1 ? ( x1 x2 x3)? a12 a22 a23 ?? x2 ? ? ?? ? ? a13 a23 a33 ?? x3 ?=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3? x1 ? a13x1+a23x2+a33x3) ? x2 ? ?x ? ? 3?2 2 = a11x12 + a22 x2 + a33x3 + 2a12 x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 .5. 設 A = ?1 ?1 ?2 ? , B = ?1 ?1 3? ? ?0 ? , 問: 2? ?(1)AB=BA 嗎?解AB≠BA. 4 ? , BA = ? 1 2 ? , 所以 AB≠BA. ?3 8? 6? ? ? ?因為 AB = ? 3 ?4 ? 解(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 嗎? (A+B)2≠A2+2AB+B2. 2? , 5? ? 2 ?? 2 5 ?? 2 ?? 2 ? = ? 8 14 ? , 5 ? ?14 29? ? ? ? 0 ? = ?10 16 ? , 4 ? ?15 27 ? ? ? ?