【正文】 第四章 向量組的線性相關(guān)性 1 設(shè) v1?(1 1 0)T v2?(0 1 1)T v3?(3 4 0)T 求 v1?v2及 3v1?2v2?v3 解 v1?v2?(1 1 0)T?(0 1 1)T ?(1?0 1?1 0?1)T ?(1 0 ?1)T 3v1?2v2?v3?3(1 1 0)T ?2(0 1 1)T ?(3 4 0)T ?(3?1?2?0?3 3?1?2?1?4 3?0?2?1?0)T ?(0 1 2)T 2 設(shè) 3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a) 求 a 其中 a1?(2 5 1 3)T a2?(10 1 5 10)T a3?(4 1 ?1 1)T 解 由 3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得 )523(61321 aaaa ??? ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 TTT ???? ?(1 2 3 4)T 3 已知向量組 A a1?(0 1 2 3)T a2?(3 0 1 2)T a3?(2 3 0 1)T B b1?(2 1 1 2)T b2?(0 ?2 1 1)T b3?(4 4 1 3)T 證明 B 組能由 A 組線性表示 但 A 組不能由 B 組線性表示 證明 由 ?????????? ??312123111012421301402230) ,( BA?????????????????971820751610402230421301 ~r ????????????????531400251552022751610421301 ~r???????????????000000531400751610421301 ~r 知 R(A)?R(A B)?3 所以 B 組能由 A 組線性表示 由 ?????????? ???????????????????????? ??000000110201110110220201312111421402~~ rrB 知 R(B)?2 因?yàn)?R(B) R(B A) 所以 A 組不能由 B 組線性表示 4 已知向量組 A a1?(0 1 1)T a2?(1 1 0)T B b1?(?1 0 1)T b2?(1 2 1)T b3?(3 2 ?1)T 證明 A 組與 B 組等價(jià) 證明 由 ???????? ????????? ????????????00000 112201031111220 112201031101111 1122010311) ,( ~~ rrAB 知 R(B)?R(B A)?2 顯然在 A 中有二階非零子式 故R(A)?2 又 R(A)?R(B A)?2 所以 R(A)?2 從而R(A)?R(B)?R(A B) 因此 A 組與 B 組等價(jià) 5 已知 R(a1 a2 a3)?2 R(a2 a3 a4)?3 證明 (1) a1能由 a2 a3線性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3線性表示 證明 (1)由 R(a2 a3 a4)?3 知 a2 a3 a4線性無關(guān) 故 a2 a3也線性無關(guān) 又由 R(a1 a2 a3)?2知 a1 a2 a3線性相關(guān) 故 a1能由 a2 a3線性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3線性表示 則因?yàn)?a1能由 a2 a3線性表示 故 a4能由 a2 a3線性表示 從而 a2 a3 a4 線性相關(guān) 矛盾 因此 a4 不能由 a1 a2 a3 線性表示 6 判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān) (1) (?1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (?1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為 A 因?yàn)? ???????? ????????? ????????? ??000 110121220 770121101 413121 ~~ rrA 所以 R(A)?2 小于向量的個(gè)數(shù) 從而所給向量組線性相關(guān) (2)以所給向量為列向量的矩陣記為 B 因?yàn)? 022200 043012|| ????B 所以 R(B)?3 等于向量的個(gè)數(shù) 從而所給向量組線性相無關(guān) 7 問 a 取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？ a1?(a 1 1)T a2?(1 a ?1)T a3?(1 ?1 a)T 解 以所給向量為列向量的矩陣記為 A 由 )1)(1(11 1111|| ???? ?? aaaaaaA 知 當(dāng) a?? 0、 1 時(shí) R(A)?3 此時(shí)向量組線性相關(guān) 8 設(shè) a1 a2線性無 關(guān) a1?b a2?b線性相關(guān) 求向量 b 用 a1 a2線性表示的表示式 解 因?yàn)?a1?b a2?b 線性相關(guān) 故存在不全為零的數(shù)1 2使 1(a1?b)? 2(a2?b)?0 由此得 221 1121 1221 2121 1 )1( aaaab ?? ??? ??? ??? ? ??????????? 設(shè)211??????c 則 b?ca1?(1?c)a2 c?R 9 設(shè) a1 a2線性相關(guān) b1 b2也線性相關(guān) 問 a1?b1 a2?b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之 解 不一定 例如 當(dāng) a1?(1 2)T, a2?(2 4)T, b1?(?1 ?1)T, b2?(0 0)T時(shí) 有 a1?b1?(1 2)T?b1?(0 1)T, a2?b2?(2 4)T?(0 0)T?(2 4)T 而 a1?b1 a2?b2的對(duì)應(yīng)分量不成比例 是線性無關(guān)的 10 舉例說明下列各命題是錯(cuò)誤的 (1)若向量組 a1 a2 ? ? ? am是線性相 關(guān)的 則 a1可由 a2 ? ? ? am線性表示 解 設(shè) a1?e1?(1 0 0 ? ? ? 0) a2?a3? ? ? ? ?am?0 則 a1 a2 ? ? ? am線性相關(guān) 但 a1不能由 a2 ? ? ? am線性表示 (2)若有不全為 0 的數(shù) 1 2 ? ? ? m使 1a1? ? ? ? ? mam? 1b1? ? ? ? ? mbm?0 成立 則 a1 a2 ? ? ? am線性相關(guān) , b1 b2 ? ? ? bm亦線性相關(guān) 解 有不全為零的數(shù) 1 2 ? ? ? m使 1a1? ? ? ? ? mam ? 1b1? ? ? ? ? mbm ?0 原式可化為 1(a1?b1)? ? ? ? ? m(am?bm)?0 取 a1?e1??b1 a2?e2??b2 ? ? ? am?em??bm 其中 e1 e2 ? ? ? em為單位坐標(biāo)向量 則上式成立 而 a1 a2 ? ? ? am和 b1 b2 ? ? ? bm均線性無關(guān) (3)若只有當(dāng) 1 2 ? ? ? m全為 0 時(shí) 等式 1a1? ? ? ? ? mam? 1b1? ? ? ? ? mbm?0 才能成立 則 a1 a2 ? ? ? am線性無關(guān) , b1 b2 ? ? ? bm亦線性無關(guān) 解 由于只有當(dāng) 1 2 ? ? ? m全為 0 時(shí) 等式 由 1a1? ? ? ? ? mam? 1b1? ? ? ? ? mbm ?0 成立 所以只有當(dāng) 1 2 ? ? ? m全為 0 時(shí) 等式 1(a1?b1)? 2(a2?b2)? ? ? ? ? m(am?bm)?0 成立 因此 a1?b1 a2?b2 ? ? ? am?bm線性無關(guān) 取 a1?a2? ? ? ? ?am?0 取 b1 ? ? ? bm為線性無關(guān)組 則它們滿足以上條件 但 a1 a2 ? ? ? am線性相關(guān) (4)若 a1 a2