【正文】 解 二次型的矩陣為. 因為, , ,所以f為負(fù)定. (2) f=x12+3x22+9x32+19x422x1x2+4x1x3+2x1x46x2x412x3x4. 解 二次型的矩陣為. 因為, , , ,所以f為正定. 33. 證明對稱陣A為正定的充分必要條件是: 存在可逆矩陣U, 使A=U TU, 即A與單位陣E合同. 證明 因為對稱陣A為正定的, 所以存在正交矩陣P使PTAP=diag(l1, l2, , ln)=L, 即A=PLPT,其中l(wèi)1, l2, , ln均為正數(shù). 令, 則L=L1L1, A=PL1L1TPT. 再令U=L1TPT, 則U可逆, 且A=UTU.。 解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3。l1,又當(dāng)y1=1, y2=y3= =yn=0時f =l1, 所以f max =l1. 30. 用配方法化下列二次形成規(guī)范形, 并寫出所用變換的矩陣. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x24x1x3。 解 二次型的矩陣為. (2). 解 二次型的矩陣為. 27. 求一個正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3。 解 . (2) f=x2+y27z22xy4xz4yz。 解 由題意知 xn+1=xn+qynpxn=(1p)xn+qyn, yn+1=yn+pxnqyn= pxn+(1q)yn,可用矩陣表示為 , 因此 . (2)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等, 即, 求. 解 由可知. 由,得A的特征值為l1=1, l2=r, 其中r=1pq. 對于l1=1, 解方程(AE)x=0, 得特征向量p1=(q, p)T. 對于l1=r, 解方程(ArE)x=0, 得特征向量p2=(1, 1)T. 令, 則 P1AP=diag(1, r)=L, A=PLP1, An=PLnP1. 于是 , . 24. (1)設(shè), 求j(A)=A105A9。 證明 設(shè)l是A的任意一個特征值, x是A的對應(yīng)于l的特征向量, 則有 Ax=lx, l2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=laTax, 于是可得l2=laTa, 從而l=0或l=aTa. 設(shè)l1, l2, , ln是A的所有特征值, 因為A=aaT的主對角線性上的元素為a12, a22, , an2, 所以a12+a22+ +an2=aTa=l1+l2+ +ln,這說明在l1, l2, , ln中有且只有一個等于aTa, 而其余n1個全為0, 即l=0是A的n1重特征值. (2)求A的非零特征值及n個線性無關(guān)的特征向量. 解 設(shè)l1=aTa, l2= =ln=0. 因為Aa=aaTa=(aTa)a=l1a, 所以p1=a是對應(yīng)于l1=aTa的特征向量. 對于l2= =ln=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因為a185。 對應(yīng)ll2的特征向量依次為p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, 2)T, 求A. 解 設(shè), 則Ap1=2p1, Ap2=2p2, 即, ①. ②再由特征值的性質(zhì), 有x1+x4+x6=l1+l2+l3=0. ③由①②③解得 , , , , .令x6=0, 得, x2=0, , , . 因此 . 20. 設(shè)3階對稱矩陣A的特征值l1=6, l2=3, l3=3, 與特征值l1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1, 1, 1)T, 求A. 解 設(shè). 因為l1=6對應(yīng)的特征向量為p1=(1, 1, 1)T, 所以有, 即 ①. l2=l3=3是A的二重特征值, 根據(jù)實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)定理知R(A3E)=1. 利用①可推出. 因為R(A3E)=1, 所以x2=x43=x5且x3=x5=x63, 解之得x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.因此 . 21. 設(shè)a=(a1, a2,