工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)課后答案__同濟(jì)第五版-wenkub.com
2025-05-28 12:15 本頁(yè)面
【正文】 =(x1+x3)2x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12y22+y32,所用的變換矩陣為. (3) f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x22x2x3. 解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x22x2x3. . 令 , 即, 二次型化為規(guī)范形f=y12+y22+y32,所用的變換矩陣為. 31. 設(shè)f=x12+x22+5x32+2ax1x22x1x3+4x2x3為正定二次型, 求a. 解 二次型的矩陣為, 其主子式為 a11=1, , . 因?yàn)閒為正主二次型, 所以必有1a20且a(5a+4)0, 解之得. 32. 判別下列二次型的正定性: (1) f=2x126x224x32+2x1x2+2x1x3。 解 二次型的矩陣為. 由,得A的特征值為l1=2, l2=5, l3=1. 當(dāng)l1=2時(shí), 解方程(A2E)x=0, 由,得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T. 當(dāng)l2=5時(shí), 解方程(A5E)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)T. 取. 當(dāng)l3=1時(shí), 解方程(AE)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)T. 取. 于是有正交矩陣T=(p1, p2, p3)和正交變換x=Ty, 使f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x22x1x42x2x3+2x3x4. 解 二次型矩陣為. 由,得A的特征值為l1=1, l2=3, l3=l4=1. 當(dāng)l1=1時(shí), 可得單位特征向量. 當(dāng)l2=3時(shí), 可得單位特征向量. 當(dāng)l3=l4=1時(shí), 可得線性無(wú)關(guān)的單位特征向量, . 于是有正交矩陣T=( p1, p2, p3, p4)和正交變換x=Ty, 使f=y12+3y22+y32+y42. 28. 求一個(gè)正交變換把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy4xz10yz=1化成標(biāo)準(zhǔn)方程. 解 二次型的矩陣為. 由, 得A的特征值為l1=2, l2=11, l3=0, . 對(duì)于l1=2, 解方程(A2E)x=0, 得特征向量(4, 1, 1)T, 單位化得. 對(duì)于l2=11, 解方程(A11E)x=0, 得特征向量(1, 2, 2)T, 單位化得. 對(duì)于l3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 單位化得. 于是有正交矩陣P=(p1, p2, p3), 使P1AP=diag(2, 11, 0), 從而有正交變換, 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程2u2+11v2=1. 29. 明: 二次型f=xTAx在||x||=1時(shí)的最大值為矩陣A的最大特征值. 證明 A為實(shí)對(duì)稱矩陣, 則有一正交矩陣T, 使得TAT1=diag(l1, l2, , ln)=L成立, 其中l(wèi)1, l2, , ln為A的特征值, 不妨設(shè)l1最大. 作正交變換y=Tx, 即x=TTy, 注意到T1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTLy=l1y12+l2y22+ +lnyn2. 因?yàn)閥=Tx正交變換, 所以當(dāng)||x||=1時(shí), 有||y||=||x||=1, 即y12+y22+ +yn2=1.因此f =l1y12+l2y22+ +lnyn2163。 解 由,得A的特征值為l1=1, l2=5. 對(duì)于l1=1, 解方程(AE)x=0, 得單位特征向量. 對(duì)于l1=5, 解方程(A5E)x=0, 得單位特征向量. 于是有正交矩陣, 使得P1AP=diag(1, 5)=L,從而A=PLP1, Ak=PLkP1. 因此 j(A)=Pj(L)P1=P(L105L9)P1 =P[diag(1, 510)5diag(1, 59)]P1 =Pdiag(4, 0)P1 . (2)設(shè), 求j(A)=A106A9+5A8. 解 求得正交矩陣為,使得P1AP=diag(1, 1, 5)=L, A=PLP1. 于是 j(A
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1