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同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)-文庫(kù)吧

2024-10-07 10:19 本頁(yè)面


【正文】 ) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置 均為同等初等矩陣; ( 2) 初等矩陣均為可逆陣,且它們的逆陣均為同等初等矩陣,具體是 ))(())(()。1(())(()。,(), 11111 lijElijEkiEkiEjiEjiE ???? ???((驗(yàn)明)。 Th1 設(shè) max)( ijaA? ,則對(duì) A 進(jìn)行的一次初等行(列)變換,相當(dāng)于在 A 的左邊(右邊)乘上一個(gè)相應(yīng)的 m 階( n 階)初等矩陣。 證:僅證互換 A 的第 i列與第 j列,相當(dāng)于用 n 階 E( i,j)右乘 A,其余變換類似可證。 記 ? ? ? ?,,,, 11 njinnji EA ???????? ?????? ?? 則 ? ? ? ?njiAjiAE ???? ,, 1 ???? =? ? ?nji AAAA ???? ,,1 ??? ? ? Bnji 記????? ,,1 ??? ,顯然 B恰好是 A 互換 i,j兩列后得到的矩陣。 例如,對(duì) A=???????????110211103 進(jìn)行初等行變換,第一行乘 2 加到第三行。 .316211103110211103102010001))2(3( ??????????????????????????????????AE n 階方陣可逆 ? A 可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。 證:充分性,設(shè) ? ?均為初等矩陣表示 ii PPPPA ?21? 均為可逆,iP? .可逆A? 必要性:設(shè) A 的標(biāo)準(zhǔn)形為 F,則 F~A,據(jù) , ? 有限個(gè)初等矩陣 P:設(shè) i11 PFPPPA Ss ?? ?? . 可逆,可逆且 PAA ?? nEFF ??? 也可逆 故 i11 PPPPA Ss ?? ??表示 n 階方陣 A 可逆 ? .nEFA ?的標(biāo)準(zhǔn)形 證:此由 必要性證明即知 設(shè) A,B 均為 mxn 矩陣,則 ( i) ??BAr~ m 階可逆陣 P, 使 PA=B; ( ii) ??BAc~ n 階可逆陣 A,使 AQ=B; ( iii) ??BA~ m 階 ,n 階可逆陣 P 及 A,使 PAQ=B; 證:僅證( i),類似可證( ii)和( iii) ?BAr~ A 經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化成 B? 存在有限個(gè) m 階初等矩陣P:使 ??? BAPPP i 12? n 階方陣 P,使 PA= nE (顯然 P 可逆) ? nrEA~(由 (i))。 (i)表明:若 BAr~ ,則 ? 可逆陣 P,使 PA=B。 下面給出求 P 的方法: 注意到, PA=B? ),(~),(),(),( PBEAPBEAPPPE BPA r?????? ?? 應(yīng)用( 1)取 B 為 A 的行最簡(jiǎn)陣 。(2)取 B=E 時(shí),提供了求方陣 A 逆陣一種方法: )(~)( 1?AEEA r 例 2( P64 例 1)設(shè)???????????????264211112A ,求 A 的行最簡(jiǎn)陣 B,并求一個(gè)可逆陣 P,使 PA=B。 解: ?)( EA??????????????100010001264211112???????????????102021010440330211~r r~?????????????????????????????????3810123133000110101~102123010440110211 r,? A 的行最簡(jiǎn)陣?????????????000110101B ,而適合 PA=B 的 P= ???????????????3810123133 例 3 求 A=??????????? 012411210 的逆陣1?A 解: ? ??EA??????????? 100010001012411210????????????? 120001010830210411~r r~ ???????????????????????????????? 21123124112100010001~123001011200210201r? ?1?AE ?????????????????? ?21123 1241121A 。 注:左式給出的是求逆陣的一般方法。 設(shè) A 為 n 階可逆 矩陣, B 為 nxm 矩陣, ??x為未知 nxm 矩陣,則由A??x=B BAx 1??? ??。注意到:??? ???? nllnrn EPPA APPEAE ??111~ (P 為初等矩陣 )? ????????? BPPxAPPElln??11 ? ? ?????????xEBAr~ 。 例 4 ( P65 例 3) 設(shè)??????????????231221312A , ?????????????520211B ,求 ??x 使 A??x =B。 解: ? ??BA???????????????????
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