同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)-wenkub.com
2024-10-23 10:19 本頁面
【正文】 證：已知條件 AB=C 記為 mxlnxlmxn CBA ? 設(shè)lxsxx?????是 0???xB的解，則由 ???????? ????? xAxBAxABxC mx l 00.)(亦是0???xC 的解。 若 A 非方陣或階數(shù)較高時，一般采用初等（行）變換。(2)無解（ 3）有無限多解？并在有解（ 3）時，求其通解。111?????????rrnnrnrrrnrr ddaacaacxxxx ),.2,1( rnici ?? ?? 可任意取值，故方程組（ *）有限多解。 中令自由未知量 ,11 rnnr cxcx ?? ?? ? 可得方程組（ *）的解： ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????0010011139。22139。 (iii) 若 R（ B） =R(A)=rn，則 ~B 中的 01??rd ， ~B 對應(yīng)方程組為 ??????????????????????nrnrrrrrnnrrnnrrxaxadxxaxadxxaxadx39。1139。139。 例 5（ P70 例 9）證明：若 cBA nxsmxn ? 且 R(A)=n,則 R（ B） =R(C) 證： ?R（ A） =n (列滿秩 ) mxnnr EA ????????? 0~ （行最簡陣），據(jù) P61 (i)知， m? 階可逆矩陣 P，使 PA= ???????????????????????????? 000 BBEP ABPCE nn 又 ?R（ C） =R（ PC） (見 Coro,取 Q=E)，則 )(0 BRB ????????? )()( BRCR ?? 注：特例，若 AB=0，且 A 為列滿秩矩陣，則 B=0. 三，線性方程組的解 對于一般的 m 個方程 n 個未知量的線性方程組； bxA ??? （ *）（其中 ? ?mxnijaA? ， ? ? ? ?TmTn bbbbxxxx , 212,1 ?? ???? 一中曾介紹用 Gauss 消元法（即對 B=? ?bA 進(jìn)行一系列初等行變換化成行最簡陣）進(jìn)行求解。 (3) ? ?)(),(m in)( BRARABR ? 。(2) ???????????064212100321B 。 二， 矩陣的秩 （ Rank） 在一中曾指出， ? ? ????????? 00 0~ rm xnij EaA，這表明：數(shù) r 是 A 在初等（行）變換下一個不變量，由 A 唯一確定，它也可用另一方式描述。 設(shè) A 為 n 階可逆 矩陣， B 為 nxm 矩陣， ??x為未知 nxm 矩陣，則由A??x=B BAx 1??? ??。 下面給出求 P 的方法： 注意到， PA=B? ),(~),(),(),( PBEAPBEAPPPE BPA r?????? ?? 應(yīng)用（ 1）取 B 為 A 的行最簡陣 。 例如，對 A=???????????110211103 進(jìn)行初等行變換，第一行乘 2 加到第三行。,(), 11111 lijElijEkiEkiEjiEjiE ???? ???（（驗(yàn)明）。 P78(2) 例 1 將???????????234554324321A 化成行最簡陣和標(biāo)準(zhǔn)形 解：1000032102101~000032104321~18126032104321~ AA rrr ??????????? ???????????????????????????? （行最簡陣）；??????????000000100001~~ 1 Cr AA (標(biāo)準(zhǔn)形 ) 對 E 進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 。 (iii)傳遞性 :A~B,B~C? A~C 例如，引例 1 中B=????????????????????97963422644121121112?????????????????00000310000111041211~r??????????????????00000310003011040101~1rB記FBc 記記????????????????0000010000100001~2 形如 21 BB或 的矩陣稱為行階梯形矩陣，其特征是：可畫出一條階梯線，且線的下方全為零，以求解線性方程組的角度而言， 12 BB比 更簡， 2B 也稱為行最簡形矩陣，其特征是：非零行的第一個非零元為 1，且它們所在列餓其它元素都為零。 求解 ???????????????????????979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx （ 1） 解： （ 1） →???????????????????????
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