【正文】 , 同時有 222。0時, 稱L為斜漸近線. (1)證明: 直線L: y=kx+b為曲線y=f(x)的漸近線的充分必要條件是 , . (2)求曲線的斜漸近線. 證明 (1) 僅就x174。, x174。)內(nèi)連續(xù). 10. 設(shè), 求f(x)的間斷點, 并說明間斷點所屬類形. 解 因為函數(shù)f(x)在x=1處無定義, 所以x=1是函數(shù)的一個間斷點. 因為(提示), (提示), 所以x=1是函數(shù)的第二類間斷點. 又因為, , 所以x=0也是函數(shù)的間斷點, 且為第一類間斷點. 11. 證明. 證明 因為, 且 , , 所以. 12. 證明方程sin x+x+1=0在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根. 證明 設(shè)f(x)=sin x+x+1, 則函數(shù)f(x)在上連續(xù). 因為, , , 所以由零點定理, 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點x, 使f(x)=0. 這說明方程sin x+x+1=0在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根. 13. 如果存在直線L: y=kx+b, 使得當x174。 (6). 解 (1)因為, 所以. (2) . (3) . (4) (提示: 用等價無窮小換). (5), 因為 , , 所以 . 提示: 求極限過程中作了變換ax1=t, bx1=u, cx1=v. (6), 因為 , , 所以 . 9. 設(shè), 要使f(x)在(165。 (2)。 因為f(x)179。 因為g(x)163。2, ), 即函數(shù)f(cos x)的定義域為[], (n=0, 177。tan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域為[0, tan 1]. (4) 由0163。e , 即函數(shù)f(ln x)的定義域為[1, e]. (3) 由0163。, 0]. (2) 由0163。 (4) f(cos x). 解 (1)由0163。 (C)f(x)是比x高階的無窮小。)內(nèi)有界.6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習題一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件. 數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的________條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件. (4)f(x)當x174。(165。)內(nèi)有界.證明 令, 則對于給定的e0, 存在X0, 只要|x|X, 就有 |f(x)A|e , 即Aef(x)A+e . 又由于f(x)在閉區(qū)間[X, X]上連續(xù), 根據(jù)有界性定理, 存在M0, 使|f(x)|163。M, 從而有 , . 由介值定理推論, 在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 5. 證明: 若f(x)在(165。[x1, xn](1163。(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 3. 設(shè)函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點x、y, 恒有|f(x)f(y)|163。, +165。 (5)。 (7).解 (1)因為函數(shù)是初等函數(shù), f(x)在點x=0有定義, 所以 . (2)因為函數(shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (3)因為函數(shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) .4. 求下列極限: (1)。 (3)。)內(nèi)除點x=2和x=3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。2, , , 177。2, , , 177。U(x0)時, f(x)0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。Z), 所以x=0和(k206。Z)處無定義, 因而這些點都是函數(shù)的間斷點. 因(k185。1, 177。, 1)和(1, +165。 (3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性).證明(1), 所以a ~a 。0), (x174。0時, .4. 利用等價無窮小的性質(zhì), 求下列極限: (1)。 (2).證明 (1)因為(提示: 令y=arctan x, 則當x174。1時, 無窮小1x和(1)1x3, (2)是否同階？是否等價？解 (1)因為, 所以當x174。1|x|179。 證明 當|x|163。h(x), 所以 Aef(x)A+e, 即 |f(x)A|e,因此.4. 利用極限存在準則證明: (1)。f(x)163。 解 . (3)。 解 . (4)。165。 解 因為, 所以. (2)。 解 . (12)。 解 . (8)。 解 . (4)。0+時的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為 M0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)M. 例如當(k=0, 1, 2, )時, 有 , 當k充分大時, y(xk)M. 當x174。, +165。+165。165。165。x174。f(x)174。1), 而當x174。0時, 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當時, |y|104. 4. 求下列極限并說明理由: (1)。3時為無窮小. (2)當x185。3時為無窮小。165。時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x174。x0). 9. 試給出x174。x0), 則e0, $d0, 使當0|xx0|d 時, 有|f(x)A|e . 因此當x0dxx0和x0xx0+d 時都有|f(x)A|e . 這說明f(x)當x174。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因為, , 所以e0, $X10, 使當xX1時, 有|f(x)A|e 。0時的極限是否存在. 證明 因為 , , , 所以極限存在. 因為 , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x174。165。2時, y=x2174。 分析 因為 |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 所以要使|(3x1)8|e , 只須. 證明 因為e0, $, 當0|x3|d時, 有 |(3x1)8|e , 所以. (2)。 $K2, 當2k2K2時, 有|x2ka|e . 取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。), x2k 174。165。a(k 174。N, 當nN時, 有. 從而當nN時, 有 , 所以.6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。N, 當nN時, 有, 從而||un||a||163。時, xn=n(1)n沒有極限.2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項. 問=? 求出N, 使當nN時, xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =, 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n0|e , 只要, 也就是. 取, 則nN, 有|xn0|e . 當e =, =1000.3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1)。165。165。165。165。=910. 01x. 綜合上述結(jié)果得到 . (2). (3) P=31180。 (3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？解 (1)當0163。1a。1且0163。1得a163。1, 177。x163。1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域為[1, 1].(2) f(sinx)。解 , , .(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1.解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2.17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域: (1) f(x2)。M. 這就證明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),