【正文】 則I162。 解 . (2)。 解 . (5)。 解 . (3)。時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題161. 計算下列極限: (1)。0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2).解 (當(dāng)x174。 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). 3. 計算下列極限: (1)。解 . 2. 計算下列極限: (1)。 解 . (13)。 解 . (11)。解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (7)。 解 . (5)。 解 . (3)。0+ 時, 函數(shù)不是無窮大. 這是因為 M0, 對所有的d0, 總可以找到這樣的點xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M. 習(xí)題151. 計算下列極限: (1)。 時, 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因為M0, 找不到這樣一個時刻N, 使對一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對任何大的N, 當(dāng)k充分大時, 總有, 但|y(x)|=0M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界, 但這函數(shù)不是當(dāng)x174。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時, 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x174。)內(nèi)無界. 這是因為M0, 在(165。 時的無窮大？為什么？解 函數(shù)y=xcos x在(165。)內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當(dāng)x174。e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒f(x)M.6. 函數(shù)y=xcos x在(165。e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時, 有恒f(x)M.x174。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時, 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時, 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒f(x)M.x174。165。+165。165。0時x為無窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表:f(x)174。 時是無窮小, 所以. (2)因為(x185。 (2). 解 (1)因為, 而當(dāng)x174。0時的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, 能使|y|104？證明 分析, 要使|y|M, 只須, 即. 證明 因為M0, $, 使當(dāng)0|x0|d時, 有, 所以當(dāng)x174。0時. 因為e0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時, 有, 所以當(dāng)x174。3時. 因為e0, $d=e , 當(dāng)0|x3|d時, 有, 所以當(dāng)x174。 (2)當(dāng)x174。0時, a(x)=2x, b(x)=3x都是無窮小, 但, 不是無窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當(dāng)x174。), 則對于e =1, $X0, 當(dāng)|x|X時, 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。A(x174。165。165。165。A(x174。x0時左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設(shè)f(x00)=f(x0+0)=A, 則e0, $d10, 使當(dāng)x0d1xx0時, 有| f(x)Ae 。A(x174。 $X20, 使當(dāng)xX2時, 有|f(x)A|e . 取X=max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|X時, 有|f(x)A|e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x174。165。+165。0時的左﹑右極限, 并說明它們在x174。時, , 問X等于多少, 使當(dāng)|x|X時, |y1|?解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3. 要使 |x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要. 取d=, 則當(dāng)0|x2|d時, 就有|x24|0. 001. 4. 當(dāng)x174。4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x2|d時, |y4|？解 由于當(dāng)x174。 分析 因為 , 所以要使, 只須, 即. 證明 因為e 0, $, 當(dāng)|x|X時, 有 , 所以. (2). 分析 因為 . 所以要使, 只須, 即. 證明 因為e0, $, 當(dāng)xX時, 有 , 所以. 3. 當(dāng)x174。 分析 因為 |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 所以要使|(5x+2)12|e , 只須. 證明 因為e 0, $, 當(dāng)0|x2|d時, 有 |(5x+2)12|e , 所以. (3)。).習(xí)題131. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。a (n174。), 所以e0, $K1, 當(dāng)2k12K11時, 有| x2k1a|e 。a(k 174。165。). 證明 因為x2k1174。a(n174。165。), x2k 174。a(k174。M. 又, 所以e0, $N206。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因為數(shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。 分析 要使, 只須. 證明 因為e0, $, 當(dāng)nN時, 有, 所以. (4).分析 要使| 91|, 只須e , 即. 證明 因為e0, $, 當(dāng)nN時, 有| 91|e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 證明 因為, 所以e0, $N206。分析 要使, 只須, 即. 證明 因為e0, $, 當(dāng)nN時, 有, 所以. (2)。165。時, 174。 解 當(dāng)n174。時, 174。 解 當(dāng)n174。時, 174。 解 當(dāng)n174。時, 174。 解 當(dāng)n174。180。1600時, p=75. 當(dāng)100x1600時, p=90(x100)180。x163。 (2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)。 當(dāng)時, 無解. 因此當(dāng)時函數(shù)的定義域為[a, 1a], 當(dāng)時函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即.19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。x163。xa163。x+a163。x163。x+a163。2 ) .(3) f(x+a)(a0)。2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域為[2np, (2n+1)p] (n=0, 177。(2n+1)p (n=0, 177。1得2np163。 解 由0163。1得|x|163。 解 由0163。解 , , .(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1。 解 y=sin2x, ,. (2) y=sin u, u=2x, ,。M , 即 |f(x)|163。f(x)163。 K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 M163。M. 這就證明了f(x)在X上有下界M和上界M. 再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1163。M, 即M163。 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2)。0)。 解 由得x=y31, 所以的反函數(shù)為y=x31. (2)。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2.(4)y=xcos x。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x。 (5)y=sin xcos x+1。 (3)。 (2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇