【正文】 注 1： 00 yyxx ??? ，因?yàn)?)(y? 在 0y 點(diǎn)附近連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)； 2：若視 0x 為任意，并用 x 代替，使得)(1)( yxf ????或)(1dydxdxdy?，其中dydxdxdy,均為整體記號(hào)，各代表不同的意義； 3： )(xf? 和 )(y?? 的“′”均表示求導(dǎo)，但意義不同； 4：定理 1 即說(shuō)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)； 5：注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式。 注 1：若取 cxv ?)( 為常數(shù)，則有： uccu ???)( ； 2：本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積上去，例如： wucwvuvwuu v w ???????)( su v wswuvwsvuv w suu v w s ?????????)( 等。 教學(xué)重點(diǎn)： 初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理 1： 若函數(shù) )(xu 和 )(xv 在點(diǎn) 0x 都可導(dǎo)，則 )()()( xvxuxf ?? 在 0 點(diǎn)也可導(dǎo)，且 )()()( 000 xvxuxf ????? 。 xv xvxuxvxuxf ?? 二、 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(yx ?? 在 yI 單調(diào)、連續(xù) ? 反函數(shù) )(xfy? 在 xI 單調(diào)、連續(xù)。)39。)(39。)(39。( ) l im l imxx f x x f xyfx xx? ? ? ? ? ? ?????? 定義 2（ 導(dǎo)函數(shù)） x xfxxfxfx ???????)()(lim)(39。 直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程 s=s(t) tt ?0 時(shí)間間隔的平均速度00 )()( tt tstsv ??? 0t 時(shí)刻的瞬時(shí)速度000 )()(lim)(0 tttststvtt ???? 問(wèn)題Ⅱ：曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率。 五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 定理 2：如果函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 點(diǎn)可導(dǎo)，那么在該點(diǎn)必連續(xù)。若 ??? )( 0xf ， 2???? 或 2?? ?切線(xiàn)方程為： 0xx? 。 定理 1： )(xf 在 0xx? 點(diǎn)可導(dǎo) ? )(xf 在 0xx? 點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均存在，且相等，即 )()( 00 xfxf ??? ?? 。但在導(dǎo)函數(shù)中， x 是變量。 4：若極限xyx ???? 0lim即00 )()(lim0 xxxfxfxx ???不存在，就稱(chēng) )(xfy? 在 0xx? 點(diǎn)不可導(dǎo)。 定義 ：設(shè) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)自變量在 0x 點(diǎn)有一增量 x? （ xx ??0 仍在該鄰域中）時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有增量 y? ，若增量比極限： xyx ???? 0lim即00 )()(lim0 xxxfxfxx ???存在，就稱(chēng)其值為 )(xfy? 在 0xx? 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf? ，0xxy ??，0xxdxdy? 或0xxdxdf ? 。 ，我們是用極限來(lái)證明連續(xù)，現(xiàn)在可利用函數(shù)的連續(xù)來(lái)求極限。 可證明指數(shù)函數(shù) )1,0( ??? aaay x ，在其定義域 ),( ???? 內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)的，進(jìn)而有對(duì)數(shù)函數(shù) )1,0(lo g ??? aaxy a 在其定義域 ),0( ?? 是連續(xù)的。 定理 4：設(shè)函數(shù) )(xu ?? 在點(diǎn) 0xx? 連續(xù)，且 00)( ux ?? ，函數(shù) )(ufy? 在 0u 點(diǎn)連續(xù)，那么，復(fù)合函數(shù) ))(( xfy ?? 在點(diǎn) 0xx? 處連續(xù) 。 定理 2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果 )(xfy? 在區(qū)間 xI 上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù) )(yx ?? 也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 }),({ xy IxxfyyI ??? 上單值，單增（減） ，且連續(xù)。 定理： )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù) )(xf? 在 0x 點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)。 定義 1ˊ ：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域 內(nèi)有定義，若對(duì) 0,0 ???? ?? ，當(dāng) ??? 0xx 時(shí)，有??? )()( 0xfxf ，就稱(chēng) )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù) 。在數(shù)學(xué)上，我們有： 定義 1：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若 )()(lim00 xfxfxx ??，就稱(chēng)函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)處連續(xù) 注 1： )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)，不僅要求 )(xf 在 0x 點(diǎn)有意義， )(lim0 xfxx?存在，而 且要)()(lim 00 xfxfxx ?? ，即極限值等于函數(shù)值。 教學(xué)重點(diǎn)：用等價(jià)無(wú)窮小求極限 定義： 設(shè) ? 與 ? 為 x 在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小， (i) 若 0lim ??? ，就說(shuō) ? 是比 ? 高階的無(wú)窮小，記為 )(?? o? ； (ii) 若 ????lim，就說(shuō) ? 是比 ? 低階 的無(wú)窮??； (iii) 若 0lim ?? C??，就說(shuō) ? 是比 ? 同階的無(wú)窮?。? (iv) 若 1lim ???，就說(shuō) ? 與 ? 是等價(jià)無(wú)窮小，記為 ??~ 。 準(zhǔn)則Ⅱ″ : 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。 第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? xxx 作為準(zhǔn)則 I′ 的應(yīng)用，下面將證明第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? xxx。 （ ii） azynnnn ?? ???? limlim 那么，數(shù)列 nx 的極限存在，且 axnn ???lim。 推論 1：設(shè) nnnn axaxaxaxf ????? ?? 1110)( ??為一多項(xiàng)式，當(dāng) )()(l i m 001101000 xfaxaxaxaxf nnnnxx ?????? ??? ??。 推論 2： nn xfxf )]([ lim)](lim [ ? （ n 為正整數(shù)）。 定理 1：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )]()(lim[ xgxf ? 存在，且)(l i m)(l i m)]()(l i m [ xgxfBAxgxf ????? 。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 二、無(wú)窮大 若當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí) ??)(xf ，就稱(chēng) )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí)的無(wú)窮大。 定理： 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小，即設(shè) u 有界， 0lim0lim ??? ?? u。 2：無(wú)窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為 0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是 0函數(shù)，由此得： 0是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)。 （ ii） 若 )0)((0)( ?? xfxf ，必有 )0(0 ?? AA 。 注 1：設(shè) )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對(duì) 0,0 ???? X? ，當(dāng) )( XxXx ??? 時(shí)，有 ??? Axf )( ，就稱(chēng) A 為 )(xf 當(dāng) )( ?????? xx 時(shí)的極限，記為 Axfx ???? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ）（ Axfx ???? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ））。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義： 定義 2： 對(duì) 0??? ， 0??? ，當(dāng) 00 xxx ??? ? 時(shí)， [當(dāng) ???? 00 xxx 時(shí) ]，有 ??? Axf )( .這時(shí)就稱(chēng) A 為 )(xf 當(dāng) 0xx? 時(shí)的左 [右 ]極限，記為 Axfxx ??? )(lim 00 或 Axf ?? )0( 。換言之：當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， ),()( ?AUxf ? 。 2：定義中 00 xx?? 表示 0xx? ，這 說(shuō)明當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 有無(wú)限與 )( 0xf 在 0x 點(diǎn)（是否有）的定義無(wú)關(guān)（可以無(wú)定義，即使有定義，與 )( 0xf 值也無(wú)關(guān)）。 三、講授新課： （一）自變量趨向有限值 0x 時(shí)函數(shù)的極限 與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值 0x 時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng) 0xx? 時(shí)， Axf ?)(（ A 為某常數(shù)），即當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 與 A 無(wú)限地接近，或說(shuō) Axf ?)( 可任意小，亦即對(duì)于預(yù)先任意給定的正整數(shù) ? （不論多么小），當(dāng) x 與 0x 充分接近時(shí)，可使得 Axf ?)( 小于 ? 。 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。 注 ：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。在解題中， N 等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè) N ，使得當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ???axn 就行了，而不必求最小的 N 。如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。 注： 在數(shù)軸上，數(shù)列的每項(xiàng)都相應(yīng)有點(diǎn)對(duì)應(yīng)它。 七 分段函數(shù)舉例 第二節(jié) 數(shù)列的極限 教學(xué)目的：使學(xué)生理解數(shù)列極限的定義及性質(zhì)，并能用定義證明一些簡(jiǎn)單數(shù)列的極限。 六 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) ： 設(shè) )(ufy? ，定義域?yàn)?1D ， )(xu ?? ，定義域?yàn)?2D ，值域?yàn)?2W ，且 12 DW ? ，這樣對(duì)于 2Dx?? ，由 )(xu ?? 可算出函數(shù)值 12 DWu ?? ，所以 1Du? ，由 )(ufy? 又可算出其函數(shù)值 y ，因此對(duì)于 2Dx?? ，有確定的值 y 與之對(duì)應(yīng)，從而得一個(gè)以 x 為自變量， y 為因變量的函數(shù)，我們稱(chēng)之為以 )(ufy? 為外函數(shù)， )(xu ?? 為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函 數(shù)，記為 ))(( xfy ?? ，其中 u 為中間變量。 對(duì)數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù) xay? 的反 函數(shù)，記為 axy a (log? 為常數(shù)， )1,0 ?? aa ,稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?),0( ?? ，由前面反函數(shù)的概念知： xay? 的圖形和 xy alog? 的圖形是關(guān)于xy? 對(duì)稱(chēng)的，從此，不難得 xy alog? 的圖形， xy alog? 的圖形總在 y 軸右方，且過(guò)（ 1， 0）點(diǎn) （ 1） 當(dāng) 1?a 時(shí)， xy alog? 單調(diào)遞增，且在（ 0， 1）為負(fù)， ),1( ?? 上為正； （ 2） 當(dāng) ??a0 1 時(shí)， xy alog? 單調(diào)遞減，且在（ 0， 1）為正， ),1( ?? 上為負(fù)； 特別當(dāng) a 取 e 時(shí)，函數(shù)記為 xy ln? ，稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。所以說(shuō)：若 )(xfy? 的反函數(shù)為 )(yx ?? ，那么 )(xy ?? 也是 )(xfy? 的反函數(shù)，且后者較常用； 4：反函數(shù) )(xy ?? 的圖形與直接函數(shù) )(xfy? 的圖形是對(duì)稱(chēng)于 xy? 五 、初等函數(shù) （一）冪函數(shù) 形如 ?xy? （ ? 為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。 周期性：設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?D ，如果 0??l ，使得對(duì) Dx?? ，有 Dlx ?? ，且)()( xflxf ?? 恒成立，就稱(chēng) )(xf 為周期函數(shù)， l 稱(chēng)為 )(xf 的周期。 （ 2）若對(duì) Dx?? ，有 )()( xfxf ??? 恒成立，就稱(chēng) )(xf 為奇函數(shù)。 （ 2） )()( 21 xfxf ? ，就稱(chēng) )(xf 在 I 上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式 )()( 21 xfxf ? 成立時(shí)，就稱(chēng) )(xf 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞減。 注： 若對(duì) Dx?? ， M? ，使得 ))(()( MxfMxf ?? ，就稱(chēng) )(xf 在 D 上有上 (下 )界。（這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見(jiàn)，希望注意?。┍M管有幾個(gè)不同的算式，但它們合起來(lái)只表示一個(gè)函數(shù)！ 對(duì) D 中任一固定的 x ，依照法則有一個(gè)數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)，以 x 為橫坐標(biāo)， y 為縱坐標(biāo)在坐標(biāo)平面 上 就 確 定 了 一 個(gè) 點(diǎn) 。如： 1,1 2222 ???? yxyx 等。 關(guān)于函數(shù)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明： （ 1）我們這里所講的函數(shù) 是指單值函數(shù)，也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè) x 值只能對(duì)應(yīng)變量 y 的一個(gè)值 . （ 2）符號(hào)“ f”的意義： 符號(hào)“ f”表示自變量 x 與函數(shù) y 的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系 .例如 y=f(x)=5x2+3x1，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ”f”是自變量的平方乘以 5 加上自變量的 3 倍減去 1，我們不妨簡(jiǎn)化為 y=f( )=5( )2+3( )1。 2：常量一般用 a,b,c??等字母表示，變量用 x,y,u,t??等字母表示，常量 a 為一定值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變量 x 代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如： ),( bax? 表示 x可代表 ),( ba 中的任一個(gè)數(shù)。 顯然： RQZN ??? . 若 BA? ,同時(shí) AB? ,就稱(chēng) A、 B 相等 ,記為 A=B。若事物 a 是集合 M 的一個(gè)元素，就記 a?M（讀a 屬于 M）；若事物 a 不是集合 M 的一個(gè)元素，就記 a? M 或 a? M（讀 a 不屬于 M）；集合有時(shí)也簡(jiǎn)稱(chēng)為集。 目錄 第一章 函數(shù)與極限 薚 ?????????????????????????? 第