【正文】 3 三重積分的計算法1.(1)、C ( 2)、C (1) 計算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所圍成的閉區(qū)域 解： ==2/27(2) 設(shè)是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所圍成的空間區(qū)域，求 解： ==1/364(1) 設(shè)是球域：，求 解:由對稱性,被積函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù),積分域關(guān)于xoy面對稱,故原積分=0. (2) 計算 其中為：平面z=2與曲面所圍成的區(qū)域 解： ==設(shè)是由所確定的有界閉域，求三重積分 解：==2設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,求 解：=167。(t)8ptf(t)=8pt這是一個一階線性微分方程,P(t)= 8pt，Q(t)=f(t)==代入條件f(0)=1得C=1,所以f(t)=第十章 重積分 167。(0)=1，得C1=2, C2=1f(x)=2cosx+sinx+x2x求得通解x2ysinx+ycosx+2xy+x2y2=C七（12分）設(shè)函數(shù)f(t)在[0,+165。(x)+f(x)=x2, f(0)=0,r2+1=0 222。(x)+x2y]dy=0為一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解。 r1,2= 1故Y=(C1+C2x)exl+iw=i不時特征根，設(shè)y*=Acosx+Bsinx是原方程的特解，代入方程得：A=0,B= y*=sinx 通解是y=(C1+C2x)ex+sinx代入初始條件得C1=0,C2=1,特解為y=xex+sinx四（10分）設(shè)可導(dǎo)函數(shù)j(x).滿足，求j(x).解：求導(dǎo)得由題設(shè)j(0)=1 222。=p,即p162。2. 解：令u=y2，則通解即178。+4y162。+by162。=6x，則函數(shù)y(x)為( ) =x22 =x3+2 +2x+6=0 =0二、填空題(3180。2y162。=2xy B.(x2y)y162。1 .故齊方程通解為Y=C1cosx+C2sinx記則所以y*178。所以不是方程的通解。y=0的通解為Y=C1ex+C2ex因l=1是特征方程的單根，設(shè)y*=xex(Ax+B)是原方程的一個特解，代入原方程得：A=1,B=1 即y*=ex(x2x)原方程的通解為：y=C1ex+C2ex+ex(x2x)代入初始條件得：C1=1,C2=1所求特解為：y=ex(x2x+1)ex7. 求y178。y=4xex，y|x=0=0,y162。+9y=cosx ,解：由y178。 r1,2= 1185。+2y162。+q(x)=f(x)的特解，則函數(shù)y=(1 C1C2)y1+C1y2+C2y3( )（C1,C2為任意常數(shù)） A. 是所給方程通解 C. 是所給方程的特解 ，但一定不是其特解。(0)=1得：一單位質(zhì)點(diǎn)受一力的作用沿x 軸作直線運(yùn)動，該力與M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離成正比（比例系數(shù)為4），介質(zhì)的阻力與運(yùn)動速度成正比（比例系數(shù)為3），求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，設(shè)開始時質(zhì)點(diǎn)靜止并且距原點(diǎn)1cm 167。+l1l2y=0 (l1185。=0解：r42r3+5r2=0 222。5i y=C1cos5x+C2sin5x(3) 解：r2+2r+1=0 222。 r1,2=2177。+qy=0的解，則（ ） A. p=2,q=5, =2,q=5 =3,q=2 =2,q=2設(shè)常系數(shù)線性齊次方程特征方程根r1,2= 1,r3,4=177。2y162。+2y162。得齊次方程的兩個解：exx,e2xx，且線性無關(guān)。+p(x)y162。+p(x)y162。(0)=y(0)=1,p|x=0=1得C=0 167。|x=0=2得C1=0解得 設(shè)在x1時所定義的可微函數(shù)y(x)滿足，及 y(0)=1，求y162。+1=0的積分曲線方程，使其通過點(diǎn)且在該點(diǎn)處切線的斜率為2解:y2y178。+y162。y)162。)2=0 , y(0)=1 , y39。=0的通解解：令y162。+x的通解解：令y162。=y162。6 可降階的高階微分方程yy178。(x))dy=0是一個全微分方程，則j(x)=( ) A. B. D.若j(x)是連續(xù)函數(shù)，且j(0)=1，并設(shè)曲線積分 與路徑無關(guān)，則A=( ) A. B. C. D.判別下列方程的類型并求其通解 （1）(a22xyy2)dx(x+y)2dy=0解：是全微分方程通解為（2）(1+e2q)dr+2re2qdq=0解：是全微分方程d(r+re2q)=0通解為r+re2q=C若f(x)可導(dǎo)，f(0)=1，對任意簡單閉曲線L,， 求解：對任意閉曲線L有，知由此得f162。(x)3f(x)=2e2x 解得：f(x)=Ce3x2e2x 又f(0)=1，所以C=3f(x)=3e3x2e2x 167。C需要多少時間？（提示：物體冷卻速度與該物體和環(huán)境溫度之差成正比）解：設(shè)物體在時刻t的溫度為u(t)，則u162。C，有一個物體在10秒內(nèi)從溫度100176。cosycosx sin2y=siny的解。2ulnu=4x+C2(x+2y)ln(2+2y)=4x+C 167。解：，則解得：求微分方程(x2+2xyy2)dx(y2+2xyx2)dy=0滿足初始條件y|x=1=1的特解解：可得解得：lnx+lnC=ln(u+1)ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始條件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y求初值問題的解解：原方程化為令y=xu這里可得：將y|x=1=0代入的特解為或求曲線，使其上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)的切線在x軸上的截距解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(x,y)，曲線：y=y(x)，則由題意知：Yy=y162。解：設(shè)在時間t=0時，子彈打進(jìn)墻壁v(t)表示子彈在t時刻速度。=e2xy , y|x=0=0的特解為（ ）A. ey=e2x+1 B. C. y=lne2x+1ln2 D. ey=e2x+C已知y=y(x)在任一點(diǎn)x處的增量，且當(dāng)Dx174。(1)=1 167。|x=p=0得C1=1,C2=2kp+6 .設(shè)物體A從點(diǎn)(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運(yùn)動。=2xy D. y162。+y162。2 C. xy162。=2xy B.(x2y)y162。7 傅里葉級數(shù) 設(shè)f(x)是周期為的周期函數(shù)，它在[上的表達(dá)式為f(x)= 試將f(x)展開成傅立葉級數(shù)解： b=再將所求得的系數(shù)代入傅立葉級數(shù)可得傅立葉級數(shù)展開式 將函數(shù)展開成正弦級數(shù) 將函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 167。如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ （絕對收斂） （條件收斂）四、判定是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂解：||，用比值判別法知,所以絕對收斂 167。若，求級數(shù)的值 解： 故求的值 解：故=求 的和 ( 167。 最小，此時 計算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時針方向） 解：設(shè)為圓周：取逆時針方向，其參數(shù)方程原積分為計算其中L是平面與柱面的交線，從z軸正向看上去為逆時針方向.（24）5．計算曲面積分 其中是曲面 的上側(cè)。7 斯托克斯公式 設(shè)為依參數(shù)增大方向的橢圓：，求 （0）2．設(shè)為平面與坐標(biāo)面交線，從z軸看去為逆時針方向，求 （2），則 （） 其中為圓周若從軸正向看依逆時針方向。3 格林公式及其應(yīng)用一、選擇題,則 = B. C.. D 2. 設(shè)為的正向，則 A．2 D.，則A．9 C. 9 二、計算題，則 解：將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得 2．其中為點(diǎn)到的拋物線 的弧段解：因故積分與路徑無關(guān)，取3．求，為(1) (2) 正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0 (2) 設(shè)為圓周：取逆時針方向，其參數(shù)方程 原積分為所以驗(yàn)證在面上是某函數(shù)的全微分，求出解：， 設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 ，計算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或 167。 C D. 設(shè)是由三個坐標(biāo)面與平面=1所圍成的空間區(qū)域,則 =( ). A B C D . 5 、設(shè)是錐面與平面所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的部分,則=( ). A B C D . 計算,圍成的立體,則正確的為( )和（） A B C D . 曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積( ) A B C D . 由直線所圍成的質(zhì)量分布均勻(設(shè)面密度為)的平面薄板,關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量=( ). A B C D 二、計算下列二重積分:（20分） ,其中是閉區(qū)域: (),其中是由直線及圓周,所圍 成的在第一象 限內(nèi)的閉區(qū)域 . () ,其中是閉區(qū) 域: ( ),其中:. ()三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: （15分） () () ()四、計算下列三重積分:（15分） :拋物柱面所圍成的區(qū)域 ()其中是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與 平面所圍 ()五、（5分）求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積 . ()六、（5分）設(shè)在上連續(xù),試證: ==