【正文】 8。+25y=0 解：r2+25=0 222。 r=177。5i y=C1cos5x+C2sin5x(3) 解：r2+2r+1=0 222。 r1,2=1y=(C1+C2t)et(4) y(4)2y162。178。+5y178。=0解：r42r3+5r2=0 222。 r1,2=0,r3,4=1177。2iy=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)求下列初值問(wèn)題的特解 y178。+(l1+l2)y162。+l1l2y=0 (l1185。l2且為實(shí)數(shù))滿(mǎn)足y(0)=0,y162。(0)=1解：r2+(l1+l2)r+l1l2=0 222。 r1=l1 r2=l2通解為由y(0)=0,y162。(0)=1得：一單位質(zhì)點(diǎn)受一力的作用沿x 軸作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，該力與M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離成正比（比例系數(shù)為4），介質(zhì)的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比（比例系數(shù)為3），求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止并且距原點(diǎn)1cm 167。 9 常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程1.、方程y178。+16y=sin(4x+a) (a為常數(shù)）的特解形式為y*=( ) +Bsin4x B. x(Acos4x+Bsin4x) C. Acos4xBsin4x (Acos4xBsin4x)2.、設(shè)函數(shù)y1,y2,y3都是線(xiàn)性非齊次方程y178。+p(x)y162。+q(x)=f(x)的特解，則函數(shù)y=(1 C1C2)y1+C1y2+C2y3( )（C1,C2為任意常數(shù)） A. 是所給方程通解 C. 是所給方程的特解 ，但一定不是其特解。3 、方程y178。2y162。=xe2x的特解具有形式（ ） A. y*=Axe2x B. y*=(Ax+B)e2x C. y*=x(Ax+B)e2x D. y*=x2(Ax+B)e2x4. 求解微分方程y178。+2y162。+2y=exsinx解：對(duì)應(yīng)的齊次方程：y178。+2y162。+2y=0特征方程r2+2r+2=0 222。 r1,2= 1185。i齊次方程通解為：Y=ex(C1cosx+C2sinx)由于l177。wi=1177。i是特征方程的根，設(shè)y*=xex(Acosx+Bsinx)代入原方程得：A=,B=0即y*=xexcosx原方程通解為y=Y+y*=ex(C1cosx+C2sinx)xexcosx5. 求解初值問(wèn)題y178。+9y=cosx ,解：由y178。+9y=0得：r1,2=177。3i所以齊次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x由于l177。wi=i不是特征方程的根，設(shè)y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=, B=0，即Y=cosx通解為y=C1cos3x+C2sin3x+cosx由初始條件得特解6. 求特解：y178。y=4xex，y|x=0=0,y162。|x=0=1解：r21=0 222。 r1,2=177。1，所以y178。y=0的通解為Y=C1ex+C2ex因l=1是特征方程的單根，設(shè)y*=xex(Ax+B)是原方程的一個(gè)特解，代入原方程得：A=1,B=1 即y*=ex(x2x)原方程的通解為：y=C1ex+C2ex+ex(x2x)代入初始條件得：C1=1,C2=1所求特解為：y=ex(x2x+1)ex7. 求y178。4y=e2x的通解證明：是方程y178。9y=9的解，但不是其通解，C1,C2為任意常 數(shù)證明：代入方程使方程成立，是方程的解。又因?yàn)橹挥幸粋€(gè)常數(shù)。所以不是方程的通解。證明方程y178。+y=f(x)(其中f(x)連續(xù))的通解為 y=C1cosx+C2sinx+, C1,C2為常數(shù)證明：有l(wèi)2+1=0 222。 l=177。1 .故齊方程通解為Y=C1cosx+C2sinx記則所以y*178。+y*=f(x)，即y*是其一個(gè)特解。由解的結(jié)構(gòu)定理：y==Y+y*=C1cosx+C2sinx+設(shè)，其中f(x)有連續(xù)的二 階導(dǎo)數(shù)，并且滿(mǎn)足： ，試求函數(shù)f(x) ( f(x)=) 第十二章 自測(cè)題一、選擇題(3180。6=18分)(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是( ) =y2eydy的通解為( ) A. y=x(Cex) =x(C+ex) =y(C+ey) =y(Cey)+y2=C確定的隱函數(shù)滿(mǎn)足的微分方程是( ) A.(x2y)y162。=2xy B.(x2y)y162。=2x 162。=2xy 162。=2xy178。2y162。=xe2x A. y*=(Ax+B)e2x B. y*=Axe2x C. y*=Ax2e2x D. y*=x(Ax+b)e2x,y2,y3為方程y178。+a1(x)y162。+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，C1,C2,C3均為任意常數(shù)，則該方程的通解為( ) +C2y2 +C2y2+C3y3 C. C1y1+C2y2+y3 (y1y2)+C2(y1y3)+y2=y(x)的圖形上(0,2)的切線(xiàn)為2x3y=0且y(x)使y178。=6x，則函數(shù)y(x)為( ) =x22 =x3+2 +2x+6=0 =0二、填空題(3180。6=18分)1. 的通解為2. 方程y162。+sin(2xy)=sin(2x+y)滿(mǎn)足初始條件的特解ln|cscycoty|=sin2x3. 積分與路徑無(wú)關(guān)，且f162。(0)=f(0)=0，則f(x) 為4. 設(shè)常系數(shù)方程y178。+by162。+cy=0的基本組是y1=e2xcosx, y2=e2xsinx，則b=_4,C=55. 方程y162。178。4y178。+4y162。=x的通解為 6. 已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足則f(x)= 3e3x2e2x三、求通解(5180。4=20分)1.（xlnx）y162。+y=ax(lnx+1)解：原方程化為的通解。2. 解：令u=y2，則通解即178。ay162。2=0, y(0)=0,y162。(0)= 1解：令y162。=p,即p162。=ap2=178。+2y162。+y=cosx，y(0)=0,解：r2+2r+1=0 222。 r1,2= 1故Y=(C1+C2x)exl+iw=i不時(shí)特征根，設(shè)y*=Acosx+Bsinx是原方程的特解，代入方程得：A=0,B= y*=sinx 通解是y=(C1+C2x)ex+sinx代入初始條件得C1=0,C2=1,特解為y=xex+sinx四（10分）設(shè)可導(dǎo)函數(shù)j(x).滿(mǎn)足，求j(x).解：求導(dǎo)得由題設(shè)j(0)=1 222。 C=1j(x)=sinx+cosx五（10分）求(x+y2)dx2xydy=0滿(mǎn)足y|x=1=2的特解。解：設(shè)積分因子即代入初始條件得C=4原方程的特解為六（12分）設(shè)f(x)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，f(x)=0,f162。(0)=1，且[xy(x+y)f(x)y]dx+[f162。(x)+x2y]dy=0為一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解。解： 222。 x2+2xyf(x)=f178。(x)+2xyf178。(x)+f(x)=x2, f(0)=0,r2+1=0 222。 r1,2=177。i齊次方程的通解為Y=C1cosx+C2sinxl不是特征方程的根。設(shè)f*(x)=Ax2+Bx+C,代入原方程A=1，B=0,C=2f(x)=x22，通解是f(x)=C1cosx+C2sinx+x22代入初始條件f(x)=0,f162。(0)=1，得C1=2, C2=1f(x)=2cosx+sinx+x2x求得通解x2ysinx+ycosx+2xy+x2y2=C七（12分）設(shè)函數(shù)f(t)在[0,+165。）上連續(xù)，且滿(mǎn)足方程： ，求f(t)==由此可得f(0)=1，且f162。(t)=+8ptf(t)222。f39。(t)8ptf(t)=8pt這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程,P(t)= 8pt，Q(t)=f(t)==代入條件f(0)=1得C=1,所以f(t)=第十章 重積分 167。 1 二重積分的概念與性質(zhì) 由二重積分的幾何意義求二重積分的值 其中D為： ( =) 設(shè)D為圓域若積分=，求a的值。解： = 設(shè)D由圓求 解：由于D的面積為, 故=設(shè)D：， ，比較, 與的大小關(guān)系解：在D上， ,故 設(shè)f(t)連續(xù)，則由平面 z=0，柱面 和曲面所圍的 立體的體積，可用二重積分表示為根據(jù)二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值 ()設(shè)f(x,y)為有界閉區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，求 解：利用積分中值定理及連續(xù)性有 167。 2 二重積分的計(jì)算法1.(1)、C ( 2)、C (3)、D (4)、C (5)、A (6)、B (7)、A交換積分次序(1)I=. I==(2) = 求下面各積分 (1) ，其中 由x=2,y=x,xy=1所圍成. 解： I= (3) 計(jì)算二重積分，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1} 解： =用極坐標(biāo)計(jì)算積分(1) I=,其中D是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域. ()(2) ，其中D是圓域 解：=(3) ，D： 解：= 167。 3 三重積分的計(jì)算法1.(1)、C ( 2)、C (1) 計(jì)算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所圍成的閉區(qū)域 解： ==2/27(2) 設(shè)是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所圍成的空間區(qū)域，求 解： ==1/364(1) 設(shè)是球域：，求 解:由對(duì)稱(chēng)性,被積函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù),積分域關(guān)于xoy面對(duì)稱(chēng),故原積分=0. (2) 計(jì)算 其中為：平面z=2與曲面所圍成的區(qū)域 解： ==設(shè)是由所確定的有界閉域，求三重積分 解：==2設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,求 解：=167。 4 重積分的應(yīng)用(1)、C (2) 、A (3)、B求均勻上半球體(半徑為R)的質(zhì)心(教材171例4)解：顯然質(zhì)心在z軸上，故x=y=0,z= 故質(zhì)心為(0,0,)解: 曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記 這三部分曲面的面積為 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3解： 所以 求曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積 解：求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立 體的體積解：