【正文】 a ??? 0n??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?0 0 0 ??? a 0 0 0 0 ??? a1 0 0 (按第 n 行展開) ??? 0 a 1 a 0 2n + (?1) ? a ? ? ? 0 ??? a (n?1)(n?1) 0 (n?1)(n?1) + an =an?an?2=an?2(a2?1).0 a = (?1)n+1 0 ??? 0n +10 0 0 ??? 0 a ??= (?1) ? (?1)a (n?2)(n?2)x a (2) Dn = ? ? ? aa x ??? a??? ??? ??? ???a a ??? 。 x成都大學(xué)詩葉子制作 10 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集解 將第一行乘(?1)分別加到其余各行, 得x a a a? x x?a 0 Dn = a ? x 0 x ? a ??? ??? ??? a?x 0 0 ??? a ??? 0 ??? 0 , ??? ??? 0 x?a再將各列都加到第一列上, 得x + (n ?1)a a a 0 x?a 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0??? a ??? 0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?aan (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1解? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 。 ??? ??? ??? a?n ??? 1??? 1 ??? a?n ??? ??? ? ? ? (a ? n)n ?1 ? ? ? (a ? n)n根據(jù)第 6 題結(jié)果, 有Dn+1 = (?1)n(n +1) 21 1 a a ?1 ??? ??? a n?1 (a ?1)n?1 a n (a ?1)n此行列式為范德蒙德行列式.Dn+1 = (?1)= (?1)n(n+1) 2n+1≥i amp。gt。 j ≥1∏[(a ? i +1) ? (a ? j +1)]n(n +1) 2n +1≥i amp。gt。 j ≥1∏[?(i ? j)]成都大學(xué)詩葉子制作 11 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集= (?1)=n(n +1) 2? (?1)n + (n ?1)+? ? ?+1 2?n +1≥i amp。gt。 j ≥1∏(i ? j)n +1≥i amp。gt。 j ≥1∏(i ? j) .? ? ? ?? ? bn 。 ?? dnan?? ??(4) D2n =a1 b1 c1 d1解an D2n = ?? ?? ? ? ? ?? ? bn (按第 1 行展開) dna1 b1 c1 d1??an?1 = an ?1 0?? ??? ?a1 b1 c1 d1 L??? ?bn?1 0??dn?1 0 0 dn成都大學(xué)詩葉子制作 12 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集0 an?1 + (?1)2n+1bn ?1 ?? ? ? ? ?? ? bn?1??a1 b1 c1 d 1??.d n?1 0再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n?2?bnD2n?2, 即 D2n=(andn?bn)D2n?2. 于是 而 所以D2n = ∏(aidi ? bici )D2 .i =2 nD2 =a1 b1 = a d ?b c , c1 d1 1 1 1 1n i =1D2n = ∏ (aidi ? bici ) .(5) D=det(aij), 其中 aij=|i?j|。解aij=|i?j|,0 1 Dn = det(aij ) = 2 3 ??? n ?1 1 2 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ??? ??? ??? n ? 2 n ?3 n ? 4 ??? ??? ??? ??? ??? ??? n ?1 n?2 n ?3 n?4 ??? 0?1 ?1 r1 ? r2 1 ===== ?1 ? r2 ? r3 ? ? ? ? ? ? n ?11 ?1 ?1 ?1 ??? n?21 1 ??? 1 1 ??? ?1 1 ? ? ? ?1 ?1 ? ? ? ??? ??? ??? n ?3 n ? 4 ? ? ?1 1 1 1 ??? 0成都大學(xué)詩葉子制作 13 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集?1 c2 + c1 ?1 ? ===== ?1 c3 + c1 ? ?1 ? ? ? ? n ?11+ a1 1 (6) Dn = 1 1+ a2 ??? ??? 1 10 0 0 ?2 0 0 ?2 ?2 0 ?2 ?2 ?2 ??? ??? ??? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5??? ??? ??? ??? ??? ???0 0 0 0 ??? n ?1=(?1)n?1(n?1)2n?2.??? 1 ? ? ? 1 , 其中 a a ? ? ? a ≠0. 1 2 n ??? ??? ? ? ? 1+ an解1+ a1 1 Dn = 1 1+ a2 ??? ??? 1 1 ??? 1 ??? 1 ??? ??? ? ? ? 1+ ana1 c1 ? c2 ? a2 ===== 0 c2 ? c3 ? ? ? 0 ??? 00 a2 ? a3 ??? 0 00 0 a3 ??? 0 0??? 0 ??? 0 ??? 0 ??? ??? ? ? ? ? an?1 ??? 00 1 0 1 0 1 ??? ??? an?1 1 ? an 1+ an1 ?1 = a1a2 ? ? ? an 0 ??? 0 00 1 ?1 ??? 0 00 0 1 ??? 0 0??? ??? ??? ??? ??? ???0 0 0 ??? ?1 00 a1?1 ? 0 a2 1 ? 0 a3 1 ??? ??? ?1 1 an?1 ? ?1 1+ an 1成都大學(xué)詩葉子制作 14 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集1 0 0 = a1a2 ? ? ? an ? ? ? 0 0 1 0 ??? 0 0 0 1 ??? 0 ??? ??? ??? ??? ??? 0 0 0 ??? 0 0 0 0 ??? 1 a1?1 ? a2 1 ? a3 1 ??? ?1 an?1n i =10 0 0 ? ? ? 0 0 1+ ∑ ai?1= (a1a2Lan )(1+ ∑ 1 ) . i =1 ai 8. 用克萊姆法則解下列方程組:?x1 + x2 + x3 + x4 = 5 ?x + 2x2 ? x3 + 4x4 = ?2 (1) ? 1 。 2x1 ? 3x2 ? x3 ? 5x4 = ?2 ?3x + x + 2x +11x = 0 ? 1 2 3 4n解因?yàn)? 1 D= 2 3 1 2 ?3 1 1 ?1 ?1 2 1 4 ? 5 = ?142 , 11 1 1 4 = ?142 , D = 1 2 ?5 2 11 3 5 ?2 ?2 0 1 ?1 ?1 2 1 4 ? 5 = ?284 , 115 ?2 D1 = ? 2 0 1 1 D3 = 2 31 2 ?3 11 ?1 ?1 21 2 ?3 15 ?2 ?2 01 1 4 = ?426 , D = 1 4 2 ?5 11 31 2 ?3 11 ?1 ?1 25 ? 2 =142 , ?2 0成都大學(xué)詩葉子制作 15 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集所以x1 = D D1 D D =1 , x2 = 2 = 2 , x3 = 3 = 3 , x4 = 4 = ?1. D D D D=1 ?5x1 + 6x2 =0 ? x1 + 5x2 + 6x3 ? x2 + 5x3 + 6x4 = 0 . (2) ? x3 + 5x4 + 6x5 = 0 ? ? x4 + 5x5 =1 ? 解 因?yàn)? 1 D= 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 = 665 , 6 51 0 D1 = 0 0 1 5 1 D3 = 0 0 0 5 1 D5 = 0 0 06 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 00 6 5 1 0 1 0 0 0 1 0 6 5 1 00 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 10 5 0 1 0 =1507 , D2 = 0 6 0 5 0 0 5 0 1 0 = 703 , D4 = 0 6 0 5 0 1 0 0 = 212 , 0 11 0 0 0 1 6 5 1 0 00 6 5 1 0 0 6 5 1 00 0 6 5 1 1 0 0 0 10 0 0 = ?1145 , 6 5 0 0 0 = ?395 , 6 5所以成都大學(xué)詩葉子制作 16 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集x1 = 1507 , x2 = ?1145 , x3 = 703 , x4 = ? 395 , x4 = 212 . 665 665 665 665 665 ?λx1 + x2 + x3 = 0 ? 9. 問 λ, 181。 取何值時(shí), 齊次線性方程組 ?x1 + 181。x2 + x3 = 0 有非 ?x1 + 2181。x2 + x3 = 0 ?零解？ 解 系數(shù)行列式為λ 1 1 D = 1 181。 1 = 181。 ? 181。λ . 1 2181。 1令 D=0, 得181。=0 或 λ=1.于是, 當(dāng) 181。=0 或 λ=1 時(shí)該齊次線性方程組有非零解.?(1? λ ) x1 ? 2x2 + 4x3 = 0 ? 10. 問 λ 取何值時(shí), 齊次線性方程組 ?2x1 + (3 ? λ )x2 + x3 = 0 ?x1 + x2 + (1? λ ) x3 = 0 ?有非零解？ 解 系數(shù)行列式為1? λ ? 2 41? λ ? 3 + λ 4 D = 2 3 ? λ 1 = 2 1? λ 1 1 1 1? λ 1 0 1? λ =(1?λ)3+(λ?3)?4(1?λ)?2(1?λ)(?3?λ) =(1?λ)3+2(1?λ)2+λ?3.成都大學(xué)詩葉子制作 17 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集令 D=0, 得λ=0, λ=2 或 λ=3.于是, 當(dāng) λ=0, λ=2 或 λ=3 時(shí), 該齊次線性方程組有非零解.第二章 1. 已知線性變換:矩陣及其運(yùn)算?x1 = 2 y1 + 2 y2 + y3 ? ?x2 = 3 y1 + y2 + 5 y3 , ?x3 = 3 y1 + 2 y2 + 3 y3 ?求從變量 x1, x2, x3 到變量 y1, y2, y3 的線性變換. 解 由已知:? x1 ? ? 2 2 1?? y1 ? ? x ? = ? 3 1 5?? y ? , ? x2 ? ? 3 2 3?? y2 ? ?? 2 ? ? 3? ?故?1 ? y1 ? ? 2 2 1 ? ? x1 ? ? ? 7 ? 4 9 ?? y1 ? ? y ? = ? 3 1 5? ? x ? = ? 6 3 ? 7 ?? y ? , ? y2 ? ? 3 2 3? ? x2 ? ? 3 2 ? 4 ?? y2 ? ? ? 3? ? ?? 3 ? ? 2? ?? y1 = ?7 x1 ? 4x2 + 9x3 ? ? y2 = 6x1 + 3x2 ? 7 x3 . ? y3 = 3x1 + 2x2 ? 4x3 ?2. 已知兩個(gè)線性變換成都大學(xué)詩葉子制作 18 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集?x1 = 2 y1 + y3 ? ?x2 = ?2 y1 + 3 y2 + 2 y3 , ?x3 = 4 y1 + y2 + 5 y3 ?解 由已知? x1 ? ? 2 0 1 ?? y1 ? ? 2 0 1 ?? ? 3 1 ? x ? = ? ? 2 3 2 ?? y ? = ? ? 2 3 2 ?? 2 0 ? x2 ? ? 4 1 5 ?? y2 ? ? 4 1 5 ?? 0 ?1 ?? 2 ? ? ?? ? 3? ? ? ? 6 1 3 ?? z1 ? = ? 12 ? 4 9 ?? z2 ? , ? ?10 ?1 16?? z ? ? ?? 3 ? 0 ?? z1 ? 1 ?? z2 ? 3?? z3 ? ??