同濟(jì)大學(xué)第六版工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)-在線瀏覽
2024-12-30 10:19本頁(yè)面
【正文】 ???????????????1111?? (iii) E(ij(01)(=E(i,j(0,1))=ijji ??????????????????????????11011????? 性質(zhì) 2 （ 1） 初等矩陣的轉(zhuǎn)置 均為同等初等矩陣； （ 2） 初等矩陣均為可逆陣，且它們的逆陣均為同等初等矩陣，具體是 ))(())(()。,(), 11111 lijElijEkiEkiEjiEjiE ???? ???（（驗(yàn)明）。 證：僅證互換 A 的第 i列與第 j列，相當(dāng)于用 n 階 E（ i,j）右乘 A，其余變換類似可證。 例如，對(duì) A=???????????110211103 進(jìn)行初等行變換，第一行乘 2 加到第三行。 證：充分性，設(shè) ? ?均為初等矩陣表示 ii PPPPA ?21? 均為可逆，iP? .可逆A? 必要性：設(shè) A 的標(biāo)準(zhǔn)形為 F，則 F~A,據(jù) ， ? 有限個(gè)初等矩陣 P：設(shè) i11 PFPPPA Ss ?? ?? . 可逆，可逆且 PAA ?? nEFF ??? 也可逆 故 i11 PPPPA Ss ?? ??表示 n 階方陣 A 可逆 ? .nEFA ?的標(biāo)準(zhǔn)形 證：此由 必要性證明即知 設(shè) A,B 均為 mxn 矩陣，則 （ i） ??BAr~ m 階可逆陣 P， 使 PA=B； （ ii） ??BAc~ n 階可逆陣 A，使 AQ=B； （ iii） ??BA~ m 階 ,n 階可逆陣 P 及 A，使 PAQ=B； 證：僅證（ i），類似可證（ ii）和（ iii） ?BAr~ A 經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化成 B? 存在有限個(gè) m 階初等矩陣P：使 ??? BAPPP i 12? n 階方陣 P，使 PA= nE （顯然 P 可逆） ? nrEA~（由 (i)）。 下面給出求 P 的方法： 注意到， PA=B? ),(~),(),(),( PBEAPBEAPPPE BPA r?????? ?? 應(yīng)用（ 1）取 B 為 A 的行最簡(jiǎn)陣 。 解： ?)( EA??????????????100010001264211112???????????????102021010440330211~r r~?????????????????????????????????3810123133000110101~102123010440110211 r,? A 的行最簡(jiǎn)陣?????????????000110101B ,而適合 PA=B 的 P= ???????????????3810123133 例 3 求 A=??????????? 012411210 的逆陣1?A 解： ? ??EA??????????? 100010001012411210????????????? 120001010830210411~r r~ ???????????????????????????????? 21123124112100010001~123001011200210201r? ?1?AE ?????????????????? ?21123 1241121A 。 設(shè) A 為 n 階可逆 矩陣， B 為 nxm 矩陣， ??x為未知 nxm 矩陣，則由A??x=B BAx 1??? ??。 例 4 （ P65 例 3） 設(shè)??????????????231221312A , ?????????????520211B ,求 ??x 使 A??x =B。 二， 矩陣的秩 （ Rank） 在一中曾指出， ? ? ????????? 00 0~ rm xnij EaA，這表明：數(shù) r 是 A 在初等（行）變換下一個(gè)不變量，由 A 唯一確定，它也可用另一方式描述。 例如?????????????011030015431A ,010301531015332 ??????????? AA 設(shè) ? ?mxnijaA?，若存在一個(gè) r 階子式 0? ，且所有 r+1 階子式 =0，則稱階數(shù) r 為 A 的秩，記作 R rA? 注：（ 1）即是，當(dāng) A=0 時(shí)，則 0?A 。(2) ???????????064212100321B 。 解：?????????????? ??????????????????????????????????????????00000100000120011221~13600512000240011221~43216063324208421221rrB ，由此知
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