【正文】 . 解 根據(jù)向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i6j+2k.于是 . 例6 設(shè)剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 我們可以用在l 軸上的一個(gè)向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l 軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí), 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq . 設(shè)線速度為v, 那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為 |v| =| w|a = |w| |r| sinq 。i = j, 所以a180。j = k, j180。j = k180。k. 由于i180。i + az by k180。j + ay bz j180。k+ay bx j180。i + ax by i180。b = ( ax i + ay j + az k) 180。(lb) = l(a180。c. (3) (la)180。c = a180。a。b = 0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) 交換律a180。b = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a//b 219。b = 0, 則a//b。a = 0 。b, 即c = a180。n. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. . F與的夾角為q . 由力學(xué)規(guī)定, 力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉(zhuǎn)向F來(lái)確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角。1=1, , . 所以 . 從而 . 例3．設(shè)液體流過平面S 上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖725(a)）, 計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為ρ). 解 單位時(shí)間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖725(b)).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為| v | cosq, 體積為 A| v | cos q = A v 1+1180。AMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則208。0時(shí), 有 . 提示: ak = ax bx + ay by + az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, ^ b), 則當(dāng)a185。i + az by kj + ay bz jk +ay bx j i + ax by ib =( ax i + ay j + az k)0時(shí), 有 (a+b)c=|c|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =ac+bc . 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ΔABC中, ∠BCA=q (圖724), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, 要證 c 2=a 2+b 22 a b cos q . 記=a, =b, =c, 則有 c=ab, 從而 |c|2=c c=(ab)(ab)=a a+b b2a b=|a|2+|b|22|a||b|cos(a,^b), 即 c 2=a 2+b 22 a b cos q . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 ab), l、m為數(shù). (2)的證明: 分配律(a+b)c=ac+bc的證明: 因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí), 上式顯然成立。b), (la)b = aa。b =0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: ab =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則a^b 219。b =0, 則 a^b。b = |b| Prj ba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) ab = |a| Prj ab. 同理, 當(dāng)b185。b=|a| |b| cosq . 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a,^ b), 當(dāng)a185。 167。 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub)。(點(diǎn)M162。 , , 。1, 在直線AB上求一點(diǎn)M, 使. 解 由于, , 因此 , 從而 . , 這就是點(diǎn)M的坐標(biāo). 另解 設(shè)所求點(diǎn)為M (x, y, z), 則, . 依題意有, 即 (xx1, yy1, zz1)=l(x2x, y2y, z2z) (x, y, z)(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)l(x, y, z), , , , . 點(diǎn)M叫做有向線段的定比分點(diǎn). 當(dāng)l=1, 點(diǎn)M的有向線段的中點(diǎn), 其坐標(biāo)為 , , . 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設(shè) , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標(biāo)表示式 . 設(shè)有點(diǎn)A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)(x1, y1, z1)=(x2x1, y2y1, z2z1), 于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為 . 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形. 解 因?yàn)? | M1M2|2 =(74)2+(13)2+(21)2 =14, | M2M3|2 =(57)2+(21)2+(32)2 =6, | M1M3|2 =(54)2+(23)2+(31)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5 在z軸上求與兩點(diǎn)A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn). 解 設(shè)所求的點(diǎn)為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(01)2+(z7)2=(30)2+(50)2+(2z)2. 解之得, 所以, 所求的點(diǎn)為. 例6 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因?yàn)? , 所以 . 2．方向角與方向余弦 當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí), 兩個(gè)向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1. 例3 設(shè)已知兩點(diǎn))和B (1, 3, 0), 計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角. 解 。b=la , 即b//a219。 在z軸上 的點(diǎn), 有x=y=0. 如果點(diǎn)M為原點(diǎn), 則x=y=z=0. 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk) =(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k =(axbx, ayby, azbz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)185。 在xOy面上的點(diǎn), z=0. 如果點(diǎn)M在x軸上, 則y=z=0。 有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M(在坐標(biāo)系Oxyz)的坐標(biāo), 記為M(x, y, z). 向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑. 上述定義表明, 一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo). 記號(hào)(x, y, z)既表示點(diǎn)M, 又表示向量. 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn), 其坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點(diǎn)M在yOz面上, 則x=0。 (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標(biāo)面: 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面, 另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個(gè)正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時(shí)針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 與第一卦限對(duì)應(yīng)的是第五卦限, 按逆時(shí)針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標(biāo)分解式: 任給向量r, 對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M, 使. 以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量. 顯然, 給定向量r, 就確定了點(diǎn)M及, , 三個(gè)分向量, 進(jìn)而確定了x、y、z三個(gè)有序數(shù)。實(shí)數(shù)x , 從而軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 據(jù)此, 定義實(shí)數(shù)x為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo). 由此可知, 軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是 = xi . 三、空間直角坐標(biāo)系 在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直